Calculo Integral AOL 3 (9-10)

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21194 . 7 - Cálculo Integral - 20201.B 
Avaliação On-Line 3 (AOL 3) - Questionário 
Nota final: 9/10 
Pergunta 1 
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Ao estudar cálculo diferencial e integral, vemos que essas duas operações são inversas. Ou seja, tendo 
uma função f(x), a integral de sua derivada f’(x) é a própria f(x). A esta constatação damos o nome de 
Teorema Fundamental do Cálculo. Já fisicamente, a derivada significa uma taxa de variação, ou seja, um 
coeficiente angular de uma reta tangente à curva em um dado ponto da função, enquanto a integral 
representa a área sob a curva do gráfico da função em um intervalo definido. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o Teorema Fundamental do Cálculo e as 
propriedades de derivação e integração, analise as afirmativas a seguir. 
I. A integral da terceira derivada de i(x) = e^(2x) + 3x² + sen(x) é igual a 4e^(2x) + 6 − sen(x). 
II. Ao integrarmos oito vezes a função g(x) = x³ + 2 e, após isso, derivarmos a expressão obtida por 9 
vezes, obtemos uma nova função que intercepta o gráfico na origem. 
III. A derivada de h(x) = cos(2x) é igual a −4sen(x)cos(x). 
IV. A integral da função f(x) = x² + 2x + 1 é igual a x³ + 2x² + x. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Correta 
a) II e IV. 
b) I e II. 
c) I e III. 
d) II e III. 
e) I, II e III. 
 
Pergunta 2 
/1 
O cálculo está muito associado com a ideia de zero e do infinito e, para lidar com esses conceitos, muitas 
vezes faz-se uso de instrumentos e temas sofisticados. O próprio limite é um desses conceitos 
referenciados, pois consegue explorar com perfeição a ideia de proximidade e, com isso, proporciona 
inúmeros ganhos ao conhecimento humano, assim como o conceito e instrumento matemático chamado 
de diferencial. 
Considerando essas informações e os estudos sobre o conceito de diferencial, pode-se afirmar que ele é 
relevante porque: 
Correta 
a) é pouco útil para a fundamentação do cálculo. 
b) é útil na aplicação da regra de L’Hospital. 
c) torna dispensável o uso do limite. 
d) está relacionado com a ideia de infinitésimo. 
e) relaciona uma função trigonométrica com sua função inversa. 
 
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Pergunta 3 
/1 
As funções circulares são aquelas definidas a partir do círculo unitário, e podem ser categorizadas entre 
dois grupos, aquelas que são diretas e as que são inversas. 
Considerando essas informações e tendo em vista os conhecimentos acerca das funções circulares, analise 
as afirmativas a seguir: 
I. Sen(x) e Log(x) são funções circulares. 
II. As funções trigonométricas são circulares. 
III. As funções inversas são funções circulares. 
IV. x²+y² = 25 é uma função circular. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Incorreta 
a) I e IV. 
b) II, III e IV. 
c) II e IV. 
d) I, III e IV. 
e) II e III. 
 
Pergunta 4 
/1 
A regra de L’Hospital é muito utilizada para tratar de alguns limites específicos. Ela auxilia no 
entendimento de algumas funções e na eliminação de inconsistências, que ocorrem em casos onde, ao 
substituir os valores de x de uma função pelo valor ao qual x tende no cálculo do limite, encontramos 
expressões da forma 0/0, por exemplo. 
Considerando essas informações e os estudos acerca da definição da regra de L’Hospital e suas 
propriedades, analise as afirmações a seguir: 
I. Ela pode ser aplicada inúmeras vezes sobre uma razão se a indeterminação 0/0 ou infinito/infinito 
ainda estiver valendo. 
II. Existem funções que têm a indeterminação, mas o L’Hospital não as resolve. 
III. A regra é aplicada por um processo de derivação. 
IV. L’Hospital elimina quaisquer indeterminações. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Correta 
a) I e II. 
b) I, II e III. 
c) III e IV. 
d) I, II e IV. 
e) II e III. 
 
 
 
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Pergunta 5 
/1 
Quando derivamos diversas vezes uma função circular como seno e cosseno, vimos que as derivadas 
alternam entre senos e cossenos, seguindo um padrão interminável. Um exemplo disso é derivar uma 
função cosseno duas vezes, onde na primeira vez ela se torna uma função seno e, na segunda, novamente 
uma função cosseno. Entender esse padrão permite o cálculo das derivadas de maneira mais rápida e 
simples. 
Considerando as funções f(x) = sen(x), g(x) = cos(2x), h(x) = sen(3x), e com base nos seus conhecimentos 
acerca da regra da cadeia e da interpretação geométrica dos conceitos estudados em cálculo diferencial e 
integral, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A derivada de h(x) é h’(x) = cos(3x)/3. 
II. ( ) A tangente do ângulo de inclinação da reta tangente a f(x,) no ponto onde x = 0, é igual a 0. 
III. ( ) f(g(h(x))) tem derivada igual a −6sen(2sen(3x))cos(3x)* cos(cos(2sen(3x))). 
IV. ( ) f’’(x) = -f(x). 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Correta 
a) F, F, V, F. 
b) V, V, F, F. 
c) V, V, F, V. 
d) F, F, V, V. 
e) V, F, V, V. 
 
Pergunta 6 
/1 
O estudo das derivadas permitiu a compreensão de como se dá a inclinação de uma reta tangente a uma 
curva em um determinado ponto e qual a taxa de variação instantânea referente a ele. Somado a isso, em 
algumas situações é preferível que, ao se saber a derivada de uma função desconhecida, realize-se a 
operação inversa a ela, para se descobrir a função que a gerou, chamada função primitiva ou antiderivada. 
Considerando essas informações e tendo em vista o conteúdo estudado sobre integrais indefinidas e 
antiderivadas, analise as afirmativas a seguir. 
I. Se uma função F’(x) = f(x), diz-se que F(x) é uma antiderivada de f(x). 
II. Tomando determinada função, pressupõe-se que esta função tem uma antiderivada. 
III. é uma representação notacional de uma integral indefinida. 
IV. é uma propriedade de uma integral definida. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Correta 
a) I e III. 
b) II, III e IV. 
c) I, III e IV. 
d) II e III. 
e) I e IV. 
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Pergunta 7 
/1 
A Regra de L’Hospital contribui para a solução de algumas categorias de indeterminações. Com essa regra 
tenta-se resolver o que não é solucionável apenas com a aplicação de um limite. Ela pode ser aplicada, 
também, inúmeras vezes, caso as indeterminações se mantenham, até o momento em que cessam. 
Considerando essas informações e com base em seus conhecimentos sobre a regra de L’Hospital, analise 
as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s): 
I. ( ) Indeterminações do tipo 1/0 podem ser resolvidas por essa regra. 
II. ( ) Em determinações do tipo 0/0, pode-se utilizar a regra de L’Hospital. 
III. ( ) Em determinações do tipo infinito/infinito, pode-se utilizar a regra de L’Hospital. 
IV. ( ) A sua aplicação envolve um processo de integralização. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Correta 
a) F, F, V, V. 
b) F, F, F, V. 
c) V, V, F, V. 
d) V, V, V, F. 
e) F, V, V, F. 
 
Pergunta 8 
/1 
Do círculo trigonométrico de raio 1 extrai-se muitas relações importantes para a matemática, sem usar 
uma ideia mais rebuscada, como a de limite. Porém, também é possível extrair novas relações quando se 
alia o estudo de limites à trigonometria. Um exemplo disso é o limite fundamental trigonométrico. 
Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre o tópico, pode-se afirmar que o limite 
fundamental trigonométrico é relevante para o cálculo porque: 
Correta 
a) torna dispensável a utilização de qualquer outro limite. 
b) relaciona a tg(x) com a cossec (x), de tal forma que sua razão valha 1. 
c) as relações trigonométricas deixam de valer quando se aplica o limite. 
d) relaciona um sen(x) com um arco x, obtendo um valor 1 da razão entre esses dois 
elementos. 
e) torna dispensável a utilização do círculo trigonométrico. 
 
Pergunta 9 
/1 
O conhecimento acerca dos métodos de derivação é muito útil para encontrar retas tangentes e taxas de 
variações. Derivar funções trigonométricas é fundamental para o prosseguimento dos estudos no Cálculo, 
já que existem diversas aplicações reais dos conceitos aprendidos nesta disciplina,como na modelagem 
de sistemas harmônicos simples e de correntes alternadas, por exemplo. 
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Considerando essas informações e com base nos seus conhecimentos acerca das derivadas 
trigonométricas, associe as funções a seguir com suas respectivas características: 
1) f(x) = sen(x). 
2) f(x) = cos(x). 
3) f(x) = tg(x). 
4) f(x) = sec(x). 
( ) Sua derivada segunda é f(x)*(-1). 
( ) Sua derivada é 
( ) Sua derivada terceira é sen(x). 
( ) Sua derivada é sec²(x). 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Correta 
a) 2, 1, 3, 4. 
b) 4, 1, 2, 3. 
c) 1, 3, 2, 4. 
d) 4, 2, 1, 3. 
e) 1, 4, 2, 3. 
 
Pergunta 10 
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Saber calcular o valor de uma derivada é fundamental para o estudo de cálculo integral, já que este valor 
possui um significado prático para análise da curva do gráfico de uma determinada função que indica 
uma taxa de variação instantânea. Isso pode significar encontrar uma taxa de variação referente a outra 
função ou algo similar, o que implica na possibilidade de se aplicar a operação reversa à derivada. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integral indefinida, pode-se afirmar que 
aplicar a operação inversa à derivada é relevante porque: 
Correta 
a) passa a ser possível derivar outros tipos de funções. 
b) tem uma interpretação geométrica diferente da derivada. 
c) permite determinar a função primitiva de uma derivada, ou seja, a função que a gerou. 
d) elimina indeterminações em que a regra de L’Hospital falha. 
e) vale para qualquer tipo de função e intervalo.