Sejam U e V espaços vetoriais. Determinar uma base e a dimensão do sub-espaço de U x V tal que U X V = {(u, v) I u . v = 0}. Admitindo que U tem di...

Para determinar uma base e a dimensão do subespaço de U x V em que U x V = {(u, v) | u . v = 0}, podemos usar a propriedade de que o produto escalar entre dois vetores é zero se e somente se eles são ortogonais. Se U tem dimensão m e V tem dimensão n, podemos considerar uma base para U como {u1, u2, ..., um} e uma base para V como {v1, v2, ..., vn}. Agora, vamos considerar o subespaço de U x V em que u . v = 0. Isso significa que o produto escalar entre cada par de vetores (ui, vj) é zero. Podemos construir uma base para esse subespaço combinando todos os pares de vetores (ui, vj) em que o produto escalar é zero. Portanto, uma base para o subespaço é {(u1, v1), (u1, v2), ..., (u1, vn), (u2, v1), (u2, v2), ..., (u2, vn), ..., (um, v1), (um, v2), ..., (um, vn)}. A dimensão desse subespaço será o número de vetores na base, que é m * n. Portanto, a dimensão de U x V é m + n. Espero que isso tenha ajudado! Se você tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.