Dada a reta ????: ????+12= ???? − 1 = ????−32 e o plano ????: ???? − 2???? + ???? = 5, determine: a) A interseção de r com ????. b) A projeção ortogonal do ponto ???? ...

a) Para determinar a interseção da reta r com o plano P, precisamos encontrar o ponto que satisfaz simultaneamente as equações da reta e do plano. Substituindo as coordenadas da reta na equação do plano, temos: (???? + 1, ???? - 32, ???? - 12) - 2(???? - 1) + ???? = 5 Simplificando a equação, temos: ???? + 1 - 2???? + 2 + ???? = 5 -???? + ???? + 3 = 5 -???? + ???? = 2 Agora, podemos resolver o sistema formado pelas equações da reta e do plano: ???? + 12 = ???? - 1 ???? = ???? - 13 Substituindo ???? por ???? - 13 na equação -???? + ???? = 2, temos: -(???? - 13) + ???? = 2 -???? + 13 + ???? = 2 13 = ???? - ???? ???? = 15 Portanto, a interseção da reta r com o plano P é o ponto (15, 2, 3). b) Para encontrar a projeção ortogonal do ponto (-1, 1, 3) sobre o plano P, podemos usar a fórmula da projeção ortogonal: projP(????) = ???? - projN(????) Onde projN(????) é a projeção do ponto ???? sobre a normal do plano P. A normal do plano P é o vetor (1, -2, 1). Calculando a projeção do ponto ???? sobre a normal do plano, temos: projN(????) = ((-1, 1, 3) · (1, -2, 1)) / ||(1, -2, 1)||^2 * (1, -2, 1) projN(????) = (-1 + (-2) + 3) / (1^2 + (-2)^2 + 1^2) * (1, -2, 1) projN(????) = 0 / 6 * (1, -2, 1) projN(????) = (0, 0, 0) Agora, podemos calcular a projeção ortogonal do ponto ???? sobre o plano P: projP(????) = (-1, 1, 3) - (0, 0, 0) projP(????) = (-1, 1, 3) Portanto, a projeção ortogonal do ponto (-1, 1, 3) sobre o plano P é o próprio ponto (-1, 1, 3). c) Para encontrar a projeção ortogonal da reta r sobre o plano P, podemos usar a fórmula da projeção ortogonal: projP(r) = r - projN(r) Onde projN(r) é a projeção da reta r sobre a normal do plano P. A normal do plano P é o vetor (1, -2, 1). Calculando a projeção da reta r sobre a normal do plano, temos: projN(r) = ((???? + 12, ???? - 1, ???? - 32) · (1, -2, 1)) / ||(1, -2, 1)||^2 * (1, -2, 1) projN(r) = (???? + 12 - 2(???? - 1) + (???? - 32)) / (1^2 + (-2)^2 + 1^2) * (1, -2, 1) projN(r) = (???? + 12 - 2???? + 2 + ???? - 32) / 6 * (1, -2, 1) projN(r) = (2???? - 18) / 6 * (1, -2, 1) projN(r) = (???? - 9) * (1, -2, 1) Agora, podemos calcular a projeção ortogonal da reta r sobre o plano P: projP(r) = (???? + 12, ???? - 1, ???? - 32) - (???? - 9) * (1, -2, 1) projP(r) = (???? + 12, ???? - 1, ???? - 32) - (???? - 9, -2(???? - 9), ???? - 9) projP(r) = (???? + 12, ???? - 1, ???? - 32) - (???? - 9, -2???? + 18, ???? - 9) projP(r) = (???? + 12 - ???? + 9, ???? - 1 + 2???? - 18, ???? - 32 - ???? + 9) projP(r) = (???? - ???? + 21, 3???? - 19, -???? - 23) Portanto, a projeção ortogonal da reta r sobre o plano P é a reta definida pelos pontos (???? - ???? + 21, 3???? - 19, -???? - 23).