O cubo ABCDEFGH da figura tem aresta igual a a. Os pontos M , N e P são os centros das faces AFED, DEHC e CBGH, respectivamente. (a) Determine o a...

(a) Para determinar o ângulo entre as faces MPA e MPN do tetraedro AMPN, podemos usar o fato de que as diagonais de um cubo são perpendiculares entre si. Portanto, o ângulo entre as faces MPA e MPN será igual ao ângulo entre as diagonais MP e MN. Sabemos que MP é a diagonal de uma face do cubo e MN é a diagonal de uma face adjacente. Como as faces do cubo são quadrados, as diagonais desses quadrados são iguais às arestas do cubo. Portanto, o ângulo entre as faces MPA e MPN será igual ao ângulo entre as diagonais MP e MN, que será igual ao ângulo entre as arestas do cubo. (b) Para determinar o volume do tetraedro AMPN, podemos usar a fórmula do volume de um tetraedro, que é dado por: V = (1/6) * base * altura No caso do tetraedro AMPN, a base será o triângulo formado pelas arestas MP, MN e PN, e a altura será a distância entre a base e o vértice A. Para calcular a base, podemos usar a fórmula da área de um triângulo, que é dada por: Área = (1/2) * base * altura A base do triângulo será a medida da aresta do cubo, que é igual a "a". A altura do triângulo pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras, considerando que o triângulo é retângulo. Após encontrar a área da base e a altura do tetraedro, podemos substituir esses valores na fórmula do volume para obter o resultado.