5. Determine os valores reais do parâmetro a para os quais existe pelo menos um número real x satisfazendo 2 2 1 4x a x− ≥ + .

Para determinar os valores reais do parâmetro "a" que satisfazem a inequação 2x^2 + 4ax - 1 ≥ 0, podemos utilizar o discriminante da equação quadrática. O discriminante é dado por Δ = b^2 - 4ac, onde a, b e c são os coeficientes da equação quadrática. Neste caso, temos a = 2, b = 4a e c = -1. Substituindo esses valores na fórmula do discriminante, temos Δ = (4a)^2 - 4(2)(-1) = 16a^2 + 8. Para que existam pelo menos um número real x que satisfaça a inequação, o discriminante Δ deve ser maior ou igual a zero, ou seja, Δ ≥ 0. Portanto, temos a seguinte desigualdade: 16a^2 + 8 ≥ 0. Resolvendo essa inequação, temos: 16a^2 + 8 ≥ 0 16a^2 ≥ -8 a^2 ≥ -8/16 a^2 ≥ -1/2 Como o quadrado de um número real é sempre não negativo, a inequação a^2 ≥ -1/2 é verdadeira para qualquer valor real de "a". Portanto, não há restrições para o valor de "a" nessa inequação.