(7) (Valor 1,5) Ache os pontos cŕıticos das funções abaixo, classificando-os como máximo local, mı́nimo local ou ponto de sela: (a) f(x, y) = e...

Para encontrar os pontos críticos das funções e classificá-los como máximo local, mínimo local ou ponto de sela, precisamos calcular as derivadas parciais das funções em relação a x e y, igualá-las a zero e resolver o sistema de equações resultante. (a) Para a função f(x, y) = e^(2x) + y^2 - 2e^x + 2y + 1, vamos calcular as derivadas parciais: ∂f/∂x = 2e^(2x) - 2e^x ∂f/∂y = 2y + 2 Igualando as derivadas parciais a zero, temos: 2e^(2x) - 2e^x = 0 2y + 2 = 0 Resolvendo a primeira equação, temos: 2e^x(e^x - 1) = 0 Isso nos dá duas possibilidades: 1) e^x = 0, o que não é possível, pois e^x é sempre positivo. 2) e^x - 1 = 0, o que implica em e^x = 1. Portanto, x = 0. Substituindo o valor de x na segunda equação, temos: 2y + 2 = 0 y = -1 Portanto, o ponto crítico da função f(x, y) é (0, -1). Agora, vamos classificá-lo. Calculando as derivadas parciais de segunda ordem: ∂²f/∂x² = 4e^(2x) - 2e^x ∂²f/∂y² = 2 E a derivada parcial cruzada: ∂²f/∂x∂y = 0 Calculando o discriminante: D = (∂²f/∂x²)(∂²f/∂y²) - (∂²f/∂x∂y)² D = (4e^(2x) - 2e^x)(2) - 0 D = 8e^(2x) - 4e^x Avaliando o discriminante no ponto crítico (0, -1): D = 8e^(2*0) - 4e^0 D = 8 - 4 D = 4 Como o discriminante é positivo (D > 0) e ∂²f/∂x² > 0, temos um mínimo local no ponto crítico (0, -1). (b) Para a função g(x, y) = y^2 - x^2 - 2xy + 8x, vamos calcular as derivadas parciais: ∂g/∂x = -2x - 2y + 8 ∂g/∂y = 2y - 2x Igualando as derivadas parciais a zero, temos: -2x - 2y + 8 = 0 2y - 2x = 0 Resolvendo o sistema de equações, encontramos: x = 2 y = 2 Portanto, o ponto crítico da função g(x, y) é (2, 2). Agora, vamos classificá-lo. Calculando as derivadas parciais de segunda ordem: ∂²g/∂x² = -2 ∂²g/∂y² = 2 E a derivada parcial cruzada: ∂²g/∂x∂y = -2 Calculando o discriminante: D = (∂²g/∂x²)(∂²g/∂y²) - (∂²g/∂x∂y)² D = (-2)(2) - (-2) D = -4 + 2 D = -2 Como o discriminante é negativo (D < 0), não podemos determinar a classificação do ponto crítico (2, 2) apenas com essas informações. Seria necessário realizar uma análise adicional para determinar se é um máximo local, mínimo local ou ponto de sela.