5. (a) Mostre que 5 é um número cŕıtico da função f(x) = 2 + (x− 5)3, mas que g(5) não é máximo nem mı́nimo local. (b) Encontre os valores ...

(a) Para encontrar os pontos críticos da função f(x) = 2 + (x-5)³, precisamos encontrar sua derivada e igualá-la a zero: f(x) = 2 + (x-5)³ f'(x) = 3(x-5)² Igualando a derivada a zero, temos: 3(x-5)² = 0 x-5 = 0 x = 5 Portanto, x = 5 é um ponto crítico da função f(x). Para verificar se g(5) é um máximo ou mínimo local, precisamos analisar a concavidade da função. Para isso, podemos calcular a segunda derivada: f''(x) = 6(x-5) Substituindo x = 5, temos: f''(5) = 6(5-5) = 0 Como f''(5) = 0, não podemos concluir se g(5) é um máximo ou mínimo local. (b) Para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função f(x) = (x²-2)^(2/3) no intervalo [-1,2], precisamos encontrar os pontos críticos e os pontos de extremos do intervalo. Calculando a derivada da função, temos: f(x) = (x²-2)^(2/3) f'(x) = (4/3)*(x²-2)^(-1/3)*2x Igualando a derivada a zero, temos: (4/3)*(x²-2)^(-1/3)*2x = 0 2x = 0 x = 0 Portanto, x = 0 é um ponto crítico da função. Agora, precisamos verificar os pontos de extremos do intervalo [-1,2]. Calculando a função nos extremos, temos: f(-1) = (1-2)^(2/3) = (-1)^(2/3) = 1 f(2) = (4-2)^(2/3) = 2^(2/3) Agora, precisamos verificar se existem outros pontos críticos ou de extremos dentro do intervalo. Para isso, podemos calcular a segunda derivada: f''(x) = (4/9)*(x²-2)^(-4/3)*(4x²-6) Analisando a concavidade da função, podemos verificar que f''(x) é positiva para x < -sqrt(2) e para x > sqrt(2), e negativa para -sqrt(2) < x < sqrt(2). Portanto, x = 0 é um ponto de mínimo local e x = sqrt(2) é um ponto de máximo local. Agora, podemos comparar os valores encontrados para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos: f(-1) = 1 f(0) = 0 f(sqrt(2)) = 2 f(2) = 2^(2/3) Portanto, o valor mínimo absoluto da função é 0, que ocorre em x = 0, e o valor máximo absoluto da função é 2, que ocorre em x = sqrt(2).