Encontre os pontos cŕıticos de f(x, y) = 2x3 − 6xy + 3y2. Classifique-os utilizando o teste da segunda derivada. a) Encontrar os pontos críticos d...

Para encontrar os pontos críticos da função f(x, y) = 2x^3 - 6xy + 3y^2, precisamos primeiro calcular as derivadas parciais em relação a x e y e igualá-las a zero. a) Encontrar os pontos críticos de f(x, y): Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero e resolvemos o sistema de equações: ∂f/∂x = 6x^2 - 6y = 0 ∂f/∂y = -6x + 6y = 0 Resolvendo o sistema de equações, encontramos x = 0 e y = 0 como solução. Portanto, o ponto crítico é (0, 0). b) Classificar os pontos críticos utilizando o teste da segunda derivada: Para classificar os pontos críticos, precisamos calcular a matriz Hessiana da função f(x, y) e avaliar seus autovalores. A matriz Hessiana é dada por: H = | ∂²f/∂x² ∂²f/∂x∂y | | ∂²f/∂y∂x ∂²f/∂y² | Calculando as derivadas parciais de segunda ordem, temos: ∂²f/∂x² = 12x ∂²f/∂x∂y = -6 ∂²f/∂y∂x = -6 ∂²f/∂y² = 6 Substituindo os valores do ponto crítico (0, 0) na matriz Hessiana, temos: H = | 0 -6 | | -6 6 | Calculando os autovalores da matriz Hessiana, encontramos λ1 = -6 e λ2 = 6. Como λ1 e λ2 têm sinais opostos, podemos concluir que o ponto crítico (0, 0) é um ponto de sela. Portanto, o ponto crítico (0, 0) é classificado como um ponto de sela utilizando o teste da segunda derivada.