(2) (Valor 1,5) Considere R o quadrado que é delimitado pelas retas: x+y = 0, x+y = 1, x−y = 0 e x−y = −1. Calcule a média de f(x, y) = (x−y)(x+y...

Para calcular a média de uma função f(x, y) no quadrado R delimitado pelas retas x+y = 0, x+y = 1, x−y = 0 e x−y = −1, podemos utilizar a mudança de variáveis u = x + y e v = x − y. Primeiro, vamos encontrar os limites de integração para u e v. Para isso, resolvemos as equações das retas: x + y = 0: y = -x x + y = 1: y = 1 - x x - y = 0: y = x x - y = -1: y = x + 1 Agora, substituímos as variáveis na função f(x, y): f(x, y) = (x - y)(x + y)^2 f(u, v) = (u - v)(u^2 - v^2)^2 Calculamos as derivadas parciais de u e v em relação a x e y: ∂u/∂x = 1 ∂u/∂y = 1 ∂v/∂x = 1 ∂v/∂y = -1 Calculamos o Jacobiano da transformação de variáveis: J = ∂(u, v)/∂(x, y) = (∂u/∂x)(∂v/∂y) - (∂u/∂y)(∂v/∂x) = (1)(-1) - (1)(1) = -2 Agora, podemos calcular a integral da função f(u, v) no quadrado R em termos das variáveis u e v: ∫∫R f(u, v) dA = ∫∫R f(u, v)|J| du dv Substituindo os limites de integração para u e v, temos: ∫∫R f(u, v)|J| du dv = ∫[0,1]∫[-1,0] (u - v)(u^2 - v^2)^2 |-2| du dv Agora, basta calcular essa integral para obter a média da função f(x, y) no quadrado R.