Seja A um anel com unidade tal que x² = x, para todo x pertencente a A. Mostre que A é um domínio se, e somente se, A = {0, 1}.?

Álgebra

•

ESTÁCIO

brunosantospenido

22/05/2023

Respostas

22.05.2023

Para mostrar que A é um domínio, precisamos mostrar que A não tem divisores de zero, ou seja, se a, b são elementos não nulos de A, então ab ≠ 0. Se A = {0, 1}, então é fácil verificar que A é um domínio. Agora, suponha que A é um domínio. Como 0² = 0, temos que 0 = 0² = 0 x 0, o que implica que 0 = 0 ou 0 = 1, já que A não tem divisores de zero. Mas como A tem unidade, 0 ≠ 1. Portanto, 0 = 0. Agora, seja x um elemento não nulo de A. Então x² = x, o que implica que x(x - 1) = 0. Como A não tem divisores de zero, temos que x - 1 = 0, ou seja, x = 1. Portanto, A = {0, 1}. Logo, concluímos que A é um domínio se, e somente se, A = {0, 1}.