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. Determine o volume do prisma delimitado por y = x 2 , y = 2 x e z = x 3 + 4 y , em unidades de volume (u.v.).

As integrais duplas são usadas para calcular áreas e volumes de formas irregulares em duas ou três dimensões. Determine o volume do prisma delimitado por y

=

x

2

,

y

=

2

x

�=�2,�=2�

 e z

=

x

3

+

�=�3+

 4

y

4�

, em unidades de volume (u.v.).

💡 1 Resposta

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Para determinar o volume do prisma delimitado pelas equações y = x², y = 2x e z = x³ + 4y, podemos utilizar a integral tripla. Primeiramente, precisamos encontrar os limites de integração para cada variável. Os limites de x são de 0 a 2, pois y = 2x é a equação de uma reta que passa pelos pontos (0,0) e (2,4), e y = x² é a equação de uma parábola que passa pelos pontos (0,0) e (2,4). Os limites de y são de 0 a 2x, pois y varia de acordo com a equação da reta y = 2x. Os limites de z são de x³ + 4y a 0, pois z varia de acordo com a equação z = x³ + 4y. Assim, podemos escrever a integral tripla para o volume do prisma como: V = ∭ E dV = ∫0² ∫0²x ∫x³+4y⁰ dz dy dx Resolvendo as integrais, temos: V = ∫0² ∫0²x 4y + x³ dy dx V = ∫0² (2x)² + x⁴ dx V = ∫0² 4x² + x⁴ dx V = [4/3 x³ + 1/5 x⁵] de 0 a 2 V = 128/15 u.v. Portanto, o volume do prisma delimitado pelas equações y = x², y = 2x e z = x³ + 4y é de 128/15 unidades de volume (u.v.).
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