Dadas duas variáveis aleatórias discretas X e Y, ambas com distribuição binomial. Sabe-se que: X: b(2, p) e Y: b(4, p). Se P(X = 1) = 5/9 então P(Y...

Para encontrar a probabilidade de Y ser igual a 1, podemos usar a fórmula da distribuição binomial. A fórmula é dada por: P(Y = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k) Onde: - n é o número de tentativas - k é o número de sucessos desejados - p é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa No caso de Y, temos n = 4 e p = p. Portanto, a probabilidade de Y ser igual a 1 é: P(Y = 1) = C(4, 1) * p^1 * (1-p)^(4-1) Agora, vamos usar a informação fornecida de que P(X = 1) = 5/9. Para X, temos n = 2 e p = p. Portanto, a probabilidade de X ser igual a 1 é: P(X = 1) = C(2, 1) * p^1 * (1-p)^(2-1) Sabemos que P(X = 1) = 5/9, então podemos substituir na fórmula: 5/9 = C(2, 1) * p^1 * (1-p)^(2-1) Simplificando, temos: 5/9 = 2p(1-p) Resolvendo essa equação, encontramos o valor de p: 5/9 = 2p - 2p^2 2p^2 - 2p + 5/9 = 0 Resolvendo essa equação do segundo grau, encontramos duas soluções possíveis para p. Vamos chamá-las de p1 e p2. Agora, podemos calcular a probabilidade de Y ser igual a 1 para cada valor de p: P(Y = 1) = C(4, 1) * p1^1 * (1-p1)^(4-1) P(Y = 1) = C(4, 1) * p2^1 * (1-p2)^(4-1) Portanto, a resposta correta para P(Y = 1) é uma das opções fornecidas: 16/81, 16/27, 32/81, 40/81 ou 65/81.