Considere duas variáveis aleatórias discretas XeY, ambas com distribuição binomial. Sabe-se que: X: b (2, p) e Y: b (4, p). Se P (X>1) = 5/9 então ...

Para resolver esse problema, podemos usar a fórmula da distribuição binomial: P(X=k) = (n k) * p^k * (1-p)^(n-k) Onde n é o número de tentativas, k é o número de sucessos, p é a probabilidade de sucesso e (n k) é o coeficiente binomial. Para P(X>1), precisamos calcular P(X=2) + P(X=1). P(X=2) = (2 2) * p^2 * (1-p)^(2-2) = p^2 P(X=1) = (2 1) * p^1 * (1-p)^(2-1) = 2p(1-p) Sabemos que P(X>1) = 5/9, então: P(X=2) + P(X=1) = 5/9 p^2 + 2p(1-p) = 5/9 p^2 + 2p - 2p^2 = 5/9 7p^2 - 18p + 5 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, encontramos: p = (18 ± sqrt(18^2 - 4*7*5)) / (2*7) p = (18 ± sqrt(244)) / 14 Como p é uma probabilidade, precisamos escolher a solução que está entre 0 e 1: p = (18 - sqrt(244)) / 14 Agora, podemos calcular P(Y=2): P(Y=2) = (4 2) * p^2 * (1-p)^(4-2) = 6p^2(1-p)^2 Substituindo o valor de p encontrado, temos: P(Y=2) = 6[(18 - sqrt(244)) / 14]^2[(14 - 18 + sqrt(244)) / 14]^2 P(Y=2) = 40/81 Portanto, a alternativa correta é a letra B) 40/81.