Exerćıcio 6 Converta a integral ∫1 −1 ∫√1−y2 0 ∫x 0 (x2 + y2) dzdxdy para uma integral equivalente em coordenadas ciĺındricas e calcule-a.

Para converter a integral dada para coordenadas cilíndricas, precisamos substituir as variáveis x, y e z pelas variáveis correspondentes em coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, temos: x = r*cos(θ) y = r*sin(θ) z = z Além disso, precisamos substituir os elementos diferenciais dx, dy e dz pelos elementos diferenciais correspondentes em coordenadas cilíndricas. dx dy dz = r dz dr dθ Agora, vamos substituir essas expressões na integral dada: ∫1 −1 ∫√1−y2 0 ∫x 0 (x2 + y2) dzdxdy Substituindo as variáveis e os elementos diferenciais, temos: ∫0 2π ∫1 0 ∫r 0 (r^2) * r dz dr dθ Simplificando a expressão, temos: ∫0 2π ∫1 0 ∫r 0 r^3 dz dr dθ Agora, podemos calcular essa integral. Primeiro, integramos em relação a z: ∫0 2π ∫1 0 [r^3 * z] de 0 a r dr dθ Simplificando, temos: ∫0 2π ∫1 0 r^4 dr dθ Agora, integramos em relação a r: ∫0 2π [(1/5) * r^5] de 0 a 1 dθ Simplificando novamente, temos: ∫0 2π (1/5) dθ Finalmente, integramos em relação a θ: (1/5) * [θ] de 0 a 2π Substituindo os limites de integração, temos: (1/5) * (2π - 0) Simplificando, obtemos: 2π/5 Portanto, a integral convertida em coordenadas cilíndricas é igual a 2π/5.