Exerćıcio 5 Utilizando coordenadas ciĺındricas: (i) Ache o volume do sólido interior à esfera x2 + y2 + z2 = 4 e ao cilindro circular x2 + y2 =...

(i) Para encontrar o volume do sólido interior à esfera x² + y² + z² = 4 e ao cilindro circular x² + y² = 1, podemos utilizar coordenadas cilíndricas. A esfera possui raio 2, enquanto o cilindro possui raio 1. Portanto, o sólido está limitado entre as superfícies z = -√(4 - r²) e z = √(4 - r²), onde r é o raio no sistema de coordenadas cilíndricas. Para encontrar o volume, podemos integrar a função z = √(4 - r²) - (-√(4 - r²)) em relação a r, variando de 0 a 1, e em relação a θ, variando de 0 a 2π. (ii) Para encontrar o volume do sólido limitado superiormente pelo paraboloide circular z = 2 - x² - y² e inferiormente pelo cone circular z = √(x² + y²), também podemos utilizar coordenadas cilíndricas. O sólido está limitado entre as superfícies z = √(r² - z²) e z = 2 - r². Para encontrar o volume, podemos integrar a função z = 2 - r² - √(r² - z²) em relação a r, variando de 0 a 2, e em relação a θ, variando de 0 a 2π. (iii) Para encontrar o volume do tronco de cilindro reto limitado inferiormente pelo disco de bordo r = 2sen(θ) no plano rθ e superiormente pelo plano z = 4 - y, podemos utilizar coordenadas cilíndricas. O tronco de cilindro está limitado entre as superfícies z = 4 - y e r = 2sen(θ). Para encontrar o volume, podemos integrar a função z = 4 - y em relação a r, variando de 0 a 2sen(θ), e em relação a θ, variando de 0 a π. Lembre-se de verificar as limitações de cada variável ao realizar as integrações.