Suponha que você é gestor de um fundo mútuo e que haja 3 ativos no mercado: um ativo arriscado (S) com retorno esperado de 45% e desvio padrão de 3...

(a) Para encontrar as proporções investidas nos ativos arriscados no caso de uma carteira de variância mínima, é necessário utilizar a fórmula do modelo de Markowitz. Nesse caso, como temos apenas 3 ativos, podemos resolver o problema utilizando álgebra linear. Vamos chamar as proporções investidas nos ativos arriscados de x e y, respectivamente, e a proporção investida no ativo sem risco de z. Temos as seguintes restrições: x + y + z = 1 (a soma das proporções deve ser igual a 1) x + y = 1 - z (equação 1) A variância da carteira é dada por: Var(carteira) = x^2 * Var(S) + y^2 * Var(B) + 2 * x * y * Cov(S, B) (equação 2) Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação 2: Var(carteira) = x^2 * (0.3)^2 + y^2 * (0.08)^2 + 2 * x * y * (-1) (equação 3) Para minimizar a variância, devemos derivar a equação 3 em relação a x e y, igualar a zero e resolver o sistema de equações resultante. No entanto, como temos uma restrição adicional (equação 1), podemos substituir o valor de y na equação 3 em termos de x e z, utilizando a equação 1. Assim, teremos uma única variável para otimizar (x) e poderemos encontrar o valor de z. (b) Para calcular o desvio padrão e o retorno esperado da carteira de variância mínima, é necessário substituir os valores encontrados para x, y e z na fórmula do desvio padrão e do retorno esperado da carteira. O retorno esperado da carteira é dado por: Retorno(carteira) = x * Retorno(S) + y * Retorno(B) + z * Retorno(T-bill) O desvio padrão da carteira é dado por: DesvioPadrao(carteira) = sqrt(x^2 * Var(S) + y^2 * Var(B) + 2 * x * y * Cov(S, B)) (c) Para encontrar as proporções de cada ativo na carteira arriscada ótima, que maximiza o índice de Sharpe, é necessário utilizar a fórmula do modelo de Markowitz. Nesse caso, é necessário calcular o índice de Sharpe para diferentes combinações de proporções investidas nos ativos arriscados e encontrar aquela que maximiza o índice. O índice de Sharpe é dado por: Sharpe = (Retorno(carteira) - Retorno(T-bill)) / DesvioPadrao(carteira) (d) Para calcular o desvio padrão e o retorno esperado da carteira arriscada ótima, é necessário substituir as proporções encontradas na fórmula do desvio padrão e do retorno esperado da carteira. (e) Para encontrar as proporções da carteira ótima que o investidor irá escolher, considerando sua utilidade dada pela função U = Retorno(carteira) - 0.5 * A * Var(carteira), onde A = 4, é necessário utilizar a fórmula do modelo de Markowitz. Nesse caso, é necessário calcular a utilidade para diferentes combinações de proporções investidas nos ativos arriscados e encontrar aquela que maximiza a utilidade. (f) Para fazer um esboço do gráfico do conjunto de oportunidades de investimento, é necessário plotar as diferentes combinações de desvio padrão e retorno esperado para as carteiras possíveis. As carteiras de variância mínima, a carteira arriscada ótima e a carteira ótima podem ser identificadas no gráfico.