Seja o pentágono PQRST, cujos vértices possuem coordenadas inteiras, representado no sistema de coordenadas cartesianas da figura. A reta que passa...

Para determinar qual vértice do pentágono a reta passa, podemos encontrar a equação da reta perpendicular à reta dada e que passa pelo ponto (2, 1). A reta dada tem a equação x + 5y - 68 = 0. Para encontrar a reta perpendicular, precisamos encontrar o coeficiente angular negativo dessa reta. O coeficiente angular da reta dada é -1/5. Portanto, o coeficiente angular da reta perpendicular será 5 (inverso do coeficiente angular negativo). Agora, podemos usar a fórmula da equação da reta para encontrar a equação da reta perpendicular: y - y1 = m(x - x1), onde (x1, y1) é o ponto (2, 1) e m é o coeficiente angular da reta perpendicular. Substituindo os valores, temos: y - 1 = 5(x - 2). Simplificando a equação, temos: y - 1 = 5x - 10. Reorganizando a equação, temos: y = 5x - 9. Agora, podemos substituir as coordenadas dos vértices do pentágono na equação da reta para determinar qual vértice ela passa. Substituindo as coordenadas do vértice P (0, 0), temos: 0 = 5(0) - 9, o que é falso. Substituindo as coordenadas do vértice S (4, 0), temos: 0 = 5(4) - 9, o que também é falso. Substituindo as coordenadas do vértice R (3, 3), temos: 3 = 5(3) - 9, o que é verdadeiro. Substituindo as coordenadas do vértice T (1, 4), temos: 4 = 5(1) - 9, o que é falso. Substituindo as coordenadas do vértice Q (-2, 3), temos: 3 = 5(-2) - 9, o que é falso. Portanto, a reta perpendicular passa pelo vértice R. A resposta correta é a alternativa C) R.