Em P3, o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3 e de coeficientes reais, considere o conjunto linearmente independente: Y = {v1...

Question

Em P3, o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3 e de coeficientes reais, considere o conjunto linearmente independente: Y = {v1...

Em P3, o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3 e de coeficientes reais, considere o conjunto linearmente independente: Y = {v1 = 3x³ + 2x + 1, v2 = x² – 3x}. O conjunto Y ∪ {v3,v4} é base de P3, se: Escolha uma opção: a. v3 = 0, v4 = 5x³ – 1. b. v3 = 2v1, v4 = v2 + v1. c. v3 = –2x³ + 3x² + x, v4 = –x³ + x. d. v3 = –(2/3)x³ + 3x² + x, v4 = –(1/3)x³ + x. e. v3 = –2x³ + 3x² + x + 3, v4 = –x³ + x + 3.

Engenharia

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Tales Gurris Martine

30/05/2023

Ed · Answer

Para que o conjunto Y ∪ {v3,v4} seja uma base de P3, é necessário que ele seja um conjunto gerador e linearmente independente.

O conjunto Y já é linearmente independente, então precisamos verificar se v3 e v4 são combinações lineares dos elementos de Y e se são linearmente independentes entre si.

Podemos escrever v3 e v4 como:

v3 = a1v1 + a2v2 + a3v3 + a4v4
v4 = b1v1 + b2v2 + b3v3 + b4v4

Substituindo os valores de v1 e v2, temos:

v3 = 3a1x³ + (2a1 - 3a2)x² + (a1 + a2 + a3)x + a4
v4 = b1x³ + (b2 - 3b1)x² + (b1 + b2 + b3)x + b4

Para que v3 e v4 sejam combinações lineares de Y, precisamos ter a3 = b3 = 0. Além disso, para que o conjunto seja linearmente independente, precisamos ter a4 = b4 = 0.

Analisando as opções, a única que satisfaz essas condições é a letra d:

v3 = -(2/3)x³ + 3x² + x
v4 = -(1/3)x³ + x

Portanto, a alternativa correta é a letra d.

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