Em P, o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3 e de coeficientes reais, considere o conjunto linearmente independente: Y = {v = ...

Para que o conjunto Y ∪ {v, v} seja uma base de P, ele deve ser um conjunto gerador e linearmente independente. Podemos verificar que o conjunto Y é linearmente independente, pois não há combinação linear de seus elementos que resulte no polinômio nulo. Agora, precisamos verificar se o conjunto Y ∪ {v, v} é um conjunto gerador. Podemos reescrever esse conjunto como Y ∪ {2v}, já que v + v = 2v. Para que seja um conjunto gerador, todo polinômio de grau menor ou igual a 3 deve ser uma combinação linear dos elementos desse conjunto. Podemos escrever um polinômio genérico como ax³ + bx² + cx + d e tentar escrevê-lo como combinação linear dos elementos de Y ∪ {2v}. Se tentarmos fazer isso, chegamos à seguinte equação: ax³ + bx² + cx + d = a(3x³ + 2x + 1) + b(x² - 3x) + c(2x³ + 3x² + x) + d(-x³ + x) Igualando os coeficientes de cada termo, obtemos o seguinte sistema de equações: 3a + 2c = a c - 3b = b 2a + 3c - d = c a - d = d Resolvendo esse sistema, encontramos que a = d, b = 0, c = a/3 e d = a. Portanto, qualquer polinômio de grau menor ou igual a 3 pode ser escrito como combinação linear dos elementos de Y ∪ {2v}, o que significa que esse conjunto é um conjunto gerador. Concluímos que a alternativa correta é a letra E: v = 2v, v = v + v.