m P3, o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3 e de coeficientes reais, considere o conjunto linearmente dependente: X = {v1 = ...

Para determinar se o conjunto X é uma base do ger(X), precisamos verificar se ele é linearmente independente e se gera o espaço vetorial P3. Para verificar se X é linearmente independente, podemos montar uma matriz com os coeficientes dos polinômios em X e escaloná-la. Se o posto da matriz for igual ao número de vetores em X, então X é linearmente independente. Montando a matriz, temos: | -2 0 2 0 | | 1 0 0 1 | | 0 2 -1 0 | | 0 0 -1 3 | Escalonando a matriz, obtemos: | 1 0 0 -1/2 | | 0 1 0 1/4 | | 0 0 1 1/4 | | 0 0 0 0 | Como o posto da matriz é igual a 3, que é o número de vetores em X, então X é linearmente dependente. Para verificar se X gera P3, precisamos verificar se todo polinômio de grau menor ou igual a 3 e de coeficientes reais pode ser escrito como combinação linear dos polinômios em X. Podemos escrever um polinômio genérico de grau menor ou igual a 3 como: p(x) = ax³ + bx² + cx + d Para que p(x) seja gerado por X, precisamos encontrar escalares α, β, γ e δ tais que: α(-2x³ + x) + β(2x³ - x) + γ(2x³ + x² - x + 3) + δ(x² + 3) = ax³ + bx² + cx + d Igualando os coeficientes de cada termo, obtemos o sistema: -2α + 2β + 2γ = a 0α - 1β + 0γ + δ = b 0α + 0β + γ = c α + β - γ + 3γ = d Resolvendo o sistema, encontramos: α = (a + 2b - 3c - 3d)/12 β = (-a + b + 3c - 3d)/12 γ = (c - a)/2 δ = b Portanto, todo polinômio de grau menor ou igual a 3 e de coeficientes reais pode ser escrito como combinação linear dos polinômios em X. Logo, X é uma base do ger(X). A alternativa correta é letra E.