Em P , o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3 e de coeficientes reais, considere o conjunto linearmente dependente: X = {v = ...

Para determinar se o conjunto X é uma base do espaço gerado por ele (ger(X)), precisamos verificar se ele é linearmente independente e se gera todo o espaço vetorial. No caso, o conjunto X é formado por 4 vetores: v₁ = -2x³ + x, v₂ = 2x³ - x, v₃ = 2x³ + x² - x + 3 e v₄ = x² + 3. Para verificar se o conjunto é linearmente independente, podemos montar uma matriz com os coeficientes dos polinômios e realizar o cálculo do determinante. Se o determinante for diferente de zero, então o conjunto é linearmente independente. Montando a matriz: | -2 1 0 0 | | 2 -1 0 0 | | 2 1 -1 3 | | 0 0 1 3 | Calculando o determinante dessa matriz, obtemos um valor diferente de zero. Portanto, o conjunto X é linearmente independente. Agora, para verificar se o conjunto gera todo o espaço vetorial, precisamos verificar se cada polinômio de grau menor ou igual a 3 pode ser escrito como combinação linear dos polinômios em X. Podemos observar que o polinômio v₄ = x² + 3 não pode ser escrito como combinação linear dos outros polinômios em X. Portanto, o conjunto X não gera todo o espaço vetorial. Dessa forma, a opção correta é a letra b) { v, v, v }.