Questão 9: Uma urna contém 10 bolas brancas e 6 pretas. De quantos modos é possível tira 7 bolas de forma que pelo menos 4 sejam pretas? A) 1990 ...

Para determinar o número de modos possíveis de tirar 7 bolas da urna, levando em consideração que pelo menos 4 delas sejam pretas, podemos usar o princípio da contagem.

Vamos considerar três casos possíveis:

1. Exatamente 4 bolas pretas e 3 bolas brancas.
2. Exatamente 5 bolas pretas e 2 bolas brancas.
3. Exatamente 6 bolas pretas e 1 bola branca.

Para cada caso, vamos calcular o número de modos possíveis e somá-los para obter a resposta correta.

1. Exatamente 4 bolas pretas e 3 bolas brancas:
2. O número de modos possíveis de escolher 4 bolas pretas de um total de 6 bolas pretas é dado por C(6,4) = 15 (combinação de 6 elementos tomados 4 a 4).
3. O número de modos possíveis de escolher 3 bolas brancas de um total de 10 bolas brancas é dado por C(10,3) = 120 (combinação de 10 elementos tomados 3 a 3).
4. Portanto, o número de modos possíveis para este caso é 15 * 120 = 1800.
5. Exatamente 5 bolas pretas e 2 bolas brancas:
6. O número de modos possíveis de escolher 5 bolas pretas de um total de 6 bolas pretas é dado por C(6,5) = 6 (combinação de 6 elementos tomados 5 a 5).
7. O número de modos possíveis de escolher 2 bolas brancas de um total de 10 bolas brancas é dado por C(10,2) = 45 (combinação de 10 elementos tomados 2 a 2).
8. Portanto, o número de modos possíveis para este caso é 6 * 45 = 270.
9. Exatamente 6 bolas pretas e 1 bola branca:
10. O número de modos possíveis de escolher 6 bolas pretas de um total de 6 bolas pretas é dado por C(6,6) = 1 (combinação de 6 elementos tomados 6 a 6).
11. O número de modos possíveis de escolher 1 bola branca de um total de 10 bolas brancas é dado por C(10,1) = 10 (combinação de 10 elementos tomados 1 a 1).
12. Portanto, o número de modos possíveis para este caso é 1 * 10 = 10.

A soma dos modos possíveis para os três casos é: 1800 + 270 + 10 = 2080.

Portanto, a resposta correta é a alternativa C) 2080 modos.