Utilize o teorema de Stokes para resolver , onde F=(z2−1)i+(z+xy3)j+6k , e e S é o pedaço de x=6−4y2−4z2 ​​​​​​​​​​​​​​, com x = - 2, ​​​​​​​orient...

Para resolver o problema utilizando o teorema de Stokes, vamos começar calculando o rotacional do campo vetorial F.

O rotacional de F é dado por:

∇ × F = (∂F₃/∂y - ∂F₂/∂z)i + (∂F₁/∂z - ∂F₃/∂x)j + (∂F₂/∂x - ∂F₁/∂y)k

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

∂F₁/∂z = 0

∂F₂/∂x = 0

∂F₃/∂y = 0

∂F₁/∂y = 0

∂F₃/∂x = 0

∂F₂/∂z = 1

Portanto, o rotacional de F é:

∇ × F = 0i + 0j + k = k

Agora, vamos calcular a integral de superfície utilizando o teorema de Stokes:

∮S F · ds = ∬R (∇ × F) · dS

Dado que a superfície S é definida por x = 6 - 4y² - 4z² e x = -2, podemos parametrizar a superfície da seguinte forma:

r(y, z) = (-2, y, z)

Agora, vamos calcular o vetor normal à superfície S:

dS = (∂r/∂y × ∂r/∂z) dy dz

  = (-2i + j + 0k) dy dz

  = (-2dy + dz) i + dy j

Substituindo o rotacional de F e o vetor normal à superfície na integral de superfície:

∮S F · ds = ∬R (∇ × F) · dS

     = ∬R (k) · ((-2dy + dz) i + dy j)

     = ∬R (0) dy dz

     = 0

Portanto, o valor da integral de superfície é zero.

Para resolver esse exercício, vamos seguir os seguintes passos: 1. Calcular o rotacional do campo vetorial F: rot(F) = (∂Q/∂y - ∂P/∂z)i + (∂P/∂z - ∂R/∂x)j + (∂R/∂x - ∂Q/∂y)k Onde P = z^2 - 1, Q = z + xy^3 e R = 6. Então, temos: rot(F) = (3y^2)i + (1 - 3z^2)j + x^3k 2. Calcular a integral de superfície de F sobre S, utilizando o teorema de Stokes: ∫∫(rot(F) . n) dS = ∫C(F . dr) Onde C é a curva de interseção entre a superfície S e o plano x = -2, orientada na direção negativa do eixo x. Para encontrar a curva C, vamos igualar x a -2 na equação da superfície S: -2 = 6 - 4y^2 - 4z^2 Simplificando, temos: z^2 + y^2 = 1 Que é a equação de um círculo de raio 1, centrado na origem do sistema de coordenadas. Para parametrizar a curva C, podemos utilizar coordenadas polares: x = -2 y = cos(t) z = sin(t) Onde t varia de 0 a 2π. Então, temos: dr = (-sin(t)dt)i + (-y^3dt)j + (cos(t)dt)k E F . dr = [(sin(t))^2 - 1]dt + [(sin(t)cos(t))^3]dt + 6(cos(t))dt Integrando de 0 a 2π, obtemos: ∫C(F . dr) = -8π/3 Para calcular a integral de superfície, precisamos calcular o vetor normal à superfície S, orientado para fora. Como a superfície é um pedaço de uma esfera, o vetor normal é dado por: n = (4y)i + (4z)j + (1 - 4x)k Então, temos: rot(F) . n = (12y^2 - 16z)i + (4 - 12z^2)j + (4x^3 - 4x)k Substituindo x = 6 - 4y^2 - 4z^2, temos: rot(F) . n = (12y^2 - 16z)i + (4 - 12z^2)j + (4(6 - 4y^2 - 4z^2)^3 - 4(6 - 4y^2 - 4z^2))k Então, temos: ∫∫(rot(F) . n) dS = ∫C(F . dr) = -8π/3