24. Utilize o teorema de Stokes para calcular a integral de linha ∮ C(z− y)dx+(x− z)dy+(y− x)dz. A curva C é o triangulo com vértices (2,0,0),(0,2,...

Para calcular a integral de linha utilizando o teorema de Stokes, precisamos seguir alguns passos: 1. Calcule o rotacional do campo vetorial F = (z - y, x - z, y - x). O rotacional de F é dado por: ∇ × F = (∂(y - x)/∂y - ∂(x - z)/∂z, ∂(z - y)/∂z - ∂(z - y)/∂x, ∂(x - z)/∂x - ∂(y - x)/∂y) = (-1 - (-1), 1 - 1, 1 - (-1)) = (0, 0, 2) 2. Agora, vamos calcular a área do triângulo formado pelos vértices (2,0,0), (0,2,0) e (0,0,2). Podemos usar a fórmula da área de um triângulo: Área = 1/2 * |(0,2,0) - (2,0,0) × (0,0,2) - (2,0,0)| Calculando o produto vetorial e simplificando, temos: Área = 1/2 * |(-4, -4, 4)| = 1/2 * √((-4)^2 + (-4)^2 + 4^2) = 1/2 * √(16 + 16 + 16) = 1/2 * √48 = √12 3. Agora, podemos aplicar o teorema de Stokes: ∮ C (z - y)dx + (x - z)dy + (y - x)dz = ∬ S (∇ × F) · dS Onde S é a superfície do triângulo formado pelos vértices (2,0,0), (0,2,0) e (0,0,2). Como o rotacional de F é (0, 0, 2) e a área do triângulo é √12, temos: ∮ C (z - y)dx + (x - z)dy + (y - x)dz = √12 * (0, 0, 2) · (0, 0, 1) = √12 * 2 = 2√12 Portanto, a integral de linha ∮ C (z - y)dx + (x - z)dy + (y - x)dz ao longo da curva C, que é o triângulo com vértices (2,0,0), (0,2,0) e (0,0,2), é igual a 2√12.