(6) Use o teorema de Stokes para resolver as questões a seguir. (a) ∫∫S rotF · dS onde F (x, y, z) = (2y cos z, exsen z, xey) e S é o hemisfério...

Para resolver a questão (a), vamos utilizar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral de linha do rotacional desse campo vetorial. O primeiro passo é calcular o rotacional do campo vetorial F: rotF = (dFz/dy - dFy/dz, dFx/dz - dFz/dx, dFy/dx - dFx/dy) = (2e^x cos z, -2y e^x cos z, -e^x sen z) Em seguida, vamos calcular a integral de linha de rotF ao longo da curva C que é a interseção do hemisfério com o plano z = 0: C: x^2 + y^2 = 1, z = 0 Para isso, vamos parametrizar a curva C: r(t) = (cos t, sen t, 0), 0 ≤ t ≤ 2π Assim, temos: ∫C rotF · dr = ∫0^2π (2e^cos t cos 0, -2sen t e^cos t cos 0, -e^cos t sen 0) · (-sen t, cos t, 0) dt = ∫0^2π (0, -2e^cos t sen^2 t, 0) · (-sen t, cos t, 0) dt = ∫0^2π 2e^cos t sen^3 t dt Para calcular essa integral, podemos fazer a substituição u = cos t, du = -sen t dt: ∫0^2π 2e^cos t sen^3 t dt = ∫1^-1 2e^u (1 - u^2)/2 du = e - e^(-1) Agora, podemos aplicar o Teorema de Stokes: ∫∫S rotF · dS = ∫C F · dr = e - e^(-1) Portanto, a alternativa correta é (E).