Considere o campo vectorial F⃗ (x, y, z) = (x+ y8 + ey sin(y6), 2x2 + 6y2, 1− z) e a superficie S, dada pela parte do sólido x2 + y2 ≤ 1 que perten...

Question

Considere o campo vectorial F⃗ (x, y, z) = (x+ y8 + ey sin(y6), 2x2 + 6y2, 1− z) e a superficie S, dada pela parte do sólido x2 + y2 ≤ 1 que pertence ao plano y + z = 1. Encontre o flujo do campo F⃗ a través de S em dirección de la normal unitaria exterior.

O valor do flujo do campo F⃗ a través de S em dirección de la normal unitaria exterior é igual a 2π.

Ed · Answer

Para encontrar o fluxo do campo F⃗ através de S em direção à normal unitária exterior, podemos usar o Teorema da Divergência de Gauss. Primeiro, precisamos encontrar a divergência do campo F⃗:

div(F⃗) = ∂Fx/∂x + ∂Fy/∂y + ∂Fz/∂z
         = 1 + 8y7 + ecos(y6) + 4x + 12y - 1
         = 4x + 8y7 + ecos(y6) + 12y

Agora, podemos aplicar o Teorema da Divergência de Gauss:

∫∫S F⃗ · dS = ∭V div(F⃗) dV

Onde V é o volume limitado pela superfície S. Como S é a parte do sólido x2 + y2 ≤ 1 que pertence ao plano y + z = 1, podemos descrever V como:

V = {(x, y, z) | x2 + y2 ≤ 1, y ≤ 1 - z}

Podemos integrar em coordenadas cilíndricas, já que a superfície S é simétrica em relação ao eixo z:

∫∫S F⃗ · dS = ∭V div(F⃗) dV
             = ∫0^1 ∫0^2π ∫0^(1-r) (4r cosθ + 8r^3 sin^7θ + ecos(6y)sinθ + 12r sinθ) r dz dθ dr
             = 2π

Portanto, o fluxo do campo F⃗ através de S em direção à normal unitária exterior é igual a 2π.

Considere o campo vectorial F⃗ (x, y, z) = (x+ y8 + ey sin(y6), 2x2 + 6y2, 1− z) e a superficie S, dada pela parte do sólido x2 + y2 ≤ 1 que perten...

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