Sea C la curva definida por la intersección de las superficies de ecuaciones x2 + z2 = 16, y + z = 4 con y ≤ 2, y sea g una función escalar C1(R ...

Question

Sea C la curva definida por la intersección de las superficies de ecuaciones x2 + z2 = 16, y + z = 4 con y ≤ 2, y sea g una función escalar C1(R ). Calcular (de dos formas) la circulación a largo de C del campo vectorial dado por F⃗ : R3 → R3 tal que F̄ (x, y, z) = (−z/(x2 + z2), g(y), x/(x2 + z2)), indicando claramente la orientación elegida para la curva.
a) La circulación a lo largo de C es 0.
b) La circulación a lo largo de C es 8πg(2).

Ed · Answer

Para calcular a circulação a longo de C do campo vetorial F⃗, podemos usar o Teorema de Stokes ou calcular diretamente a integral de linha. Vou mostrar as duas formas:

Usando o Teorema de Stokes:
1. Encontrar o rotacional de F⃗: 
rot(F⃗) = (∂Fz/∂y - ∂Fy/∂z, ∂Fx/∂z - ∂Fz/∂x, ∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y)
rot(F⃗) = (0, 2z/(x²+z²), 0)
2. Calcular a integral de superfície de rot(F⃗) sobre a superfície S delimitada por C:
∫∫S rot(F⃗) . dS = ∫∫S (0, 2z/(x²+z²), 0) . dS = 0
3. Aplicar o Teorema de Stokes:
∫C F⃗ . dr = ∫∫S rot(F⃗) . dS = 0

Calculando diretamente a integral de linha:
1. Parametrizar a curva C:
x = 4cos(t), y = 2, z = 4 - y = 2, 0 ≤ t ≤ 2π
2. Calcular F⃗(x(t), y(t), z(t)):
F⃗(x(t), y(t), z(t)) = (-z/(x²+z²), g(y), x/(x²+z²)) = (-1/2, g(2), cos(t)/2)
3. Calcular a integral de linha:
∫C F⃗ . dr = ∫0^2π F⃗(x(t), y(t), z(t)) . r'(t) dt = ∫0^2π (-1/2, g(2), cos(t)/2) . (-4sin(t), 0, -2cos(t)) dt
∫C F⃗ . dr = ∫0^2π (2sin(t) + cos(t)) dt = 8πg(2)

Portanto, a resposta correta é a letra b) A circulação a lo largo de C é 8πg(2).

Sea C la curva definida por la intersección de las superficies de ecuaciones x2 + z2 = 16, y + z = 4 con y ≤ 2, y sea g una función escalar C1(R ...

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