Sea C la curva definida por la intersección de las superficies de ecuaciones x2 + z2 = 16, y + z = 4 con y ≤ 2, y sea g una función escalar C1(R ...

Para calcular a circulação ao longo da curva C, podemos usar o Teorema de Stokes. Primeiro, vamos encontrar o vetor normal à superfície delimitada pela curva C. A superfície é definida pelas equações x^2 + z^2 = 16 e y + z = 4, com y ≤ 2. Derivando a segunda equação em relação a x e z, obtemos: dy/dx = 0 e dy/dz = 1. Agora, vamos encontrar o vetor tangente à curva C. Para isso, derivamos as equações da superfície em relação a um parâmetro t que varia ao longo da curva C: x = 4cos(t), y = 2, z = 4 - y = 4 - 2 = 2. Derivando essas equações em relação a t, obtemos: dx/dt = -4sin(t), dy/dt = 0 e dz/dt = 0. Agora, calculamos o produto escalar entre o vetor tangente e o vetor normal: N = (0, 1, 0) e T = (-4sin(t), 0, 0). N · T = 0*(-4sin(t)) + 1*0 + 0*0 = 0. Como o produto escalar é zero, isso indica que o vetor tangente é perpendicular ao vetor normal, o que significa que a curva C é plana. Agora, vamos calcular a circulação ao longo da curva C usando a fórmula: ∮C F⃗ · dr⃗ = ∬S (curl F⃗) · dS⃗, onde S é a superfície delimitada pela curva C e curl F⃗ é o rotacional do campo F⃗. Calculando o rotacional de F⃗, temos: curl F⃗ = (∂Fz/∂y - ∂Fy/∂z, ∂Fx/∂z - ∂Fz/∂x, ∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y). Substituindo os valores de F⃗, temos: curl F⃗ = (0 - (-1/(x^2 + z^2)), 0 - 0, g'(y) - 0) = (1/(x^2 + z^2), 0, g'(y)). Agora, calculamos a integral dupla ∬S (curl F⃗) · dS⃗. Como a curva C é plana, a integral dupla se reduz a uma integral simples ao longo da curva C. ∬S (curl F⃗) · dS⃗ = ∮C (curl F⃗) · dr⃗. Substituindo os valores de curl F⃗ e dr⃗, temos: ∮C (curl F⃗) · dr⃗ = ∮C (1/(x^2 + z^2), 0, g'(y)) · (-4sin(t), 0, 0) dt = ∮C (-4sin(t)/(x^2 + z^2), 0, 0) dt = ∮C (-4sin(t)/(16cos^2(t) + 2^2), 0, 0) dt = ∮C (-sin(t)/(4cos^2(t) + 1), 0, 0) dt. Agora, podemos calcular a circulação de duas formas diferentes: a) Se a circulação ao longo de C for 0, então a integral acima deve ser igual a 0. Portanto, a alternativa correta é a letra a) "La circulación a lo largo de C es 0". b) Para calcular a circulação ao longo de C, precisamos conhecer a função escalar g(y). Sem essa informação, não podemos determinar o valor da circulação. Portanto, a alternativa correta é a letra b) "La circulación a lo largo de C es 8πg(2)" não pode ser determinada sem conhecer a função g(y). Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.