Sea r⃗ = (x, y, z) y supongamos que r denota ||r⃗||. Verifique las siguientes identidades. a) ∇ · (rnr⃗) = (n+ 3)rn b) ∇× (rnr⃗) = 0⃗ a) ∇ · (rnr⃗...

Para verificar as identidades, podemos usar a notação em coordenadas cartesianas. a) ∇ · (rnr⃗) = (n+ 3)rn Começamos calculando o produto escalar: rnr⃗ = (x, y, z)nr⃗ = xnr⃗i + ynr⃗j + znr⃗k Onde i, j e k são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente. Agora, podemos calcular a divergência: ∇ · (rnr⃗) = ∂/∂x (xnr⃗i + ynr⃗j + znr⃗k) + ∂/∂y (xnr⃗i + ynr⃗j + znr⃗k) + ∂/∂z (xnr⃗i + ynr⃗j + znr⃗k) = n∂r/∂r + r∂n/∂r + 3n = (n+ 3)rn Portanto, a identidade a) está verificada. b) ∇× (rnr⃗) = 0⃗ Começamos calculando o produto vetorial: rnr⃗ = (x, y, z)nr⃗ = xnr⃗i + ynr⃗j + znr⃗k r = ||r⃗|| = √(x² + y² + z²) Agora, podemos calcular o rotacional: ∇× (rnr⃗) = ∂/∂y (znr⃗) - ∂/∂z (ynr⃗) + ∂/∂z (xnr⃗) - ∂/∂x (znr⃗) + ∂/∂x (ynr⃗) - ∂/∂y (xnr⃗) = (n∂r/∂r + r∂n/∂r)k - n∂r/∂rj - r∂n/∂ri = (n+ 2)nr⃗ - (n+ 2)nr⃗ = 0⃗ Portanto, a identidade b) está verificada.