Determine o valor de sete vezes o cosseno do ângulo formado entre os planos π: 2x + y - 2z + 3 = 0 e μ: x=1+α+γ y=2+2α-γ z=α-γ, α e γ reais. ...

Para determinar o valor de sete vezes o cosseno do ângulo formado entre os planos π e μ, precisamos encontrar os vetores normais desses planos e, em seguida, calcular o cosseno do ângulo entre eles. O vetor normal do plano π é dado pelos coeficientes dos termos x, y e z na equação do plano. Portanto, temos: π: 2x + y - 2z + 3 = 0 Vetor normal de π: (2, 1, -2) O vetor normal do plano μ é dado pelos coeficientes dos termos x, y e z na equação do plano. Portanto, temos: μ: x = 1 + α + γ y = 2 + 2α - γ z = α - γ Vetor normal de μ: (1, 2, 1) Agora, podemos calcular o cosseno do ângulo entre esses vetores normais usando a fórmula do produto escalar: cosθ = (vetor normal de π . vetor normal de μ) / (|vetor normal de π| * |vetor normal de μ|) Onde "." representa o produto escalar e "|" representa o módulo do vetor. Calculando o produto escalar: (2, 1, -2) . (1, 2, 1) = 2*1 + 1*2 + (-2)*1 = 2 + 2 - 2 = 2 Calculando os módulos dos vetores: |vetor normal de π| = √(2^2 + 1^2 + (-2)^2) = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3 |vetor normal de μ| = √(1^2 + 2^2 + 1^2) = √(1 + 4 + 1) = √6 Substituindo na fórmula do cosseno: cosθ = 2 / (3 * √6) Agora, podemos calcular o valor de sete vezes o cosseno do ângulo: 7 * cosθ = 7 * (2 / (3 * √6)) = 14 / (3 * √6) Portanto, o valor de sete vezes o cosseno do ângulo formado entre os planos π e μ é 14 / (3 * √6).