Resolver a equação x3 - 4x2 + x + 6 = 0, sabendo que uma das raízes é a soma das outras duas. Encontrar as raízes da equação x3 - 4x2 + x + 6 = 0 ...

Para resolver a equação x3 - 4x2 + x + 6 = 0, sabendo que uma das raízes é a soma das outras duas, podemos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a raiz que é a soma das outras duas: Seja r a raiz que é a soma das outras duas. Podemos escrever as outras duas raízes como a e b, de forma que r = a + b. Sabemos que a equação tem três raízes, então podemos escrever a equação fatorada como (x - a)(x - b)(x - r) = 0. Expandindo essa equação, temos: x3 - (a + b + r)x2 + (ab + ar + br)x - abr = 0 Substituindo os valores da equação original, temos: a + b + r = 4 abr = -6 2. Substituir a raiz encontrada na equação x3 - 4x2 + x + 6 = 0 e encontrar as outras duas raízes: Substituindo r = 4 - a - b na equação original, temos: x3 - 4x2 + x + 6 = (x - a)(x - b)(x - (4 - a - b)) Expandindo essa equação, temos: x3 - (a + b + 4)x2 + (ab + 4a + 4b - 6)x - ab(4 - a - b) = 0 Substituindo a + b + r = 4 e abr = -6, temos: x3 - 4x2 + x + 6 = (x - a)(x - b)(x - (4 - a - b)) x3 - 4x2 + x + 6 = (x - a)(x - b)(x - 4 + a + b) x3 - 4x2 + x + 6 = (x - a)(x - b)(x - a - b + 4) x3 - 4x2 + x + 6 = x3 - (a + b + 4)x2 + (ab + 4a + 4b - 6)x - ab(4 - a - b) -4x2 + x + 6 = -(a + b + 4)x2 + (ab + 4a + 4b - 6)x - ab(4 - a - b) -4x2 + x + 6 = -(4 - r)x2 + (ab + 4a + 4b - 6)x - ab(4 - r) Substituindo r = 4 - a - b, temos: -4x2 + x + 6 = -(4 - (a + b))x2 + (ab + 4a + 4b - 6)x - ab(4 - (a + b)) -4x2 + x + 6 = -(4 - r)x2 + (ab + 4a + 4b - 6)x - ab(4 - r) -4x2 + x + 6 = -r2 + (4r - 6)x - abr Substituindo abr = -6, temos: -4x2 + x + 6 = -r2 + (4r - 6)x + 6 -4x2 + (4r - 5)x + (r2 + 6) = 0 3. Encontrar as outras duas raízes: A equação -4x2 + (4r - 5)x + (r2 + 6) = 0 é uma equação do segundo grau em x. Podemos encontrar as raízes usando a fórmula de Bhaskara: Δ = (4r - 5)2 - 4(-4)(r2 + 6) = 16r2 - 32r + 121 x = (-b ± √Δ) / 2a x = (-(4r - 5) ± √Δ) / (-8) x = (4r - 5 ± √(16r2 - 32r + 121)) / 8 Portanto, as três raízes da equação x3 - 4x2 + x + 6 = 0, sabendo que uma das raízes é a soma das outras duas, são: r = (4 ± √10) / 2 a = (2 - √10) / 2 b = (2 + √10) / 2