Ap3 - Curvas e Superfícies - 2022.2

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – Curvas e Superf́ıcies – 2/2022
Código da disciplina EAD01095
Nome: Matŕıcula:
Polo: Data:
Atenção!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões, preencha (pintando os
respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da disciplina (indicado acima em
negrito) e o número da folha.
PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
• Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova!
• Identifique a Prova, colocando Nome e Matŕıcula, Polo
e Data. • Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul
• É permitido o uso de calculadora, desde que não seja de ou preta para registro das resoluções nas Folhas de
telefone celular ou de qualquer outro aparelho que permita Respostas.
a conexão à internet. • As Folhas de Respostas serão o único material
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador. considerado para correção. Quaisquer anotações feitas
• Não amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas, fora deste espaço,mesmo que em folha de rascunho,
pois isto pode invialbilizar a digitalização e a correção. serão ignoradas.
Questão 1 [2,0 pt] Encontre uma parametrização para a superf́ıcie de revolução S gerada pela
rotação da semi-reta z = x em torno do eixo z e, a partir desta, determine a expressão do vetor
normal à superf́ıcie num ponto genérico.
Questão 2 [2,0 pt] Calcule, usando integral dupla, a área da superf́ıcie do problema anterior para
0 ≤ t ≤ 1.
Questão 3 [2,0 pt] Utilizando coordenadas polares, calcule a integral I =
∫∫
R(xy) dA, onde
R = {(x, y) | 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0} corresponde ao doḿınio de integração e dA =
dx dy = r dr dθ.
Questão 4 [2,0 pt] Uma part́ıcula segue uma trajetória dada pela curva paramétrica ~r(t) =
[cos(t), sen(t), t]. Calcule seu comprimento de arco para 0 ≤ t ≤ 2.
Questão 5 [2,0 pt] Encontre a curvatura num ponto genérico da trajetória da part́ıcula do exerćıcio
anterior.