Exerćıcio 3: Uma dada curva no R3 é parametrizada pela expressão r⃗(t) = (t, 3t2, 6t3), t ≥ 0. Encontre seu comprimento de arco para 0 ≤ t ≤ 2. ...

Para encontrar o comprimento de arco de uma curva parametrizada, podemos utilizar a fórmula: L = ∫a^b ||r'(t)|| dt Onde r(t) é a função vetorial que descreve a curva, a e b são os limites de integração e ||r'(t)|| é a norma do vetor derivada de r(t). No caso da curva r(t) = (t, 3t^2, 6t^3), temos: r'(t) = (1, 6t, 18t^2) ||r'(t)|| = √(1^2 + (6t)^2 + (18t^2)^2) = √(1 + 36t^2 + 324t^4) Assim, o comprimento de arco da curva para 0 ≤ t ≤ 2 é: L = ∫0^2 √(1 + 36t^2 + 324t^4) dt Infelizmente, não é possível encontrar uma solução analítica para essa integral. É necessário utilizar métodos numéricos para obter uma aproximação do valor de L.