Considere un alambre cuya representación en el espacio viene dada por la curva γ ⊆ R3 la cual corresponde a la intersección de las superficies S1...
Matemática
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Question

Considere un alambre cuya representación en el espacio viene dada por la curva γ ⊆ R3 la cual corresponde a la intersección de las superficies S1: 2x2 + y2 = 2, S2: x = z − 1, y ≥ 0. Si la densidad en cada punto corresponde a δ(x, y, z) = 2(z − 1)2 + y2 + 2, calcule la masa del alambre γ.
a) Encontrar una parametrización para la curva γ.
b) Calcular la norma del vector tangente a la curva γ.
c) Calcular la masa del alambre γ.
I. La curva γ está contenida en el plano xy.
II. La curva γ está contenida en el plano xz.
III. La curva γ está contenida en el plano yz.
IV. La curva γ es una circunferencia.
a) I e IV estão corretas.
b) II e III estão corretas.
c) I e III estão corretas.
d) II e IV estão corretas.
e) Apenas a afirmativa IV está correta.

Ed · Answer

a) Uma possível parametrização para a curva γ é:
x = t
y = √(2 - 2t²)
z = t + 1

b) O vetor tangente à curva γ é dado por:
T(t) = (1, (-2t/√(2 - 2t²)), 1)

A norma do vetor tangente é:
||T(t)|| = √(6t²/(2 - 2t²) + 2)

c) A massa do alambre γ é dada por:
m = ∫γ δ(x,y,z) ds

Onde ds é o elemento de comprimento da curva γ. Podemos calcular ds usando a fórmula:
ds = ||r'(t)|| dt

Onde r(t) é a parametrização da curva γ. Então, temos:
ds = ||T(t)|| dt

Substituindo δ(x,y,z) e ||T(t)||, temos:
m = ∫γ (2(z - 1)² + y² + 2) ||T(t)|| dt

Substituindo as coordenadas da parametrização, temos:
m = ∫-1¹ (2(t²)² + (2 - 2t²)² + 2) ||T(t)|| dt

Resolvendo a integral, encontramos a massa do alambre γ.

d) A afirmativa II está correta, pois a curva γ está contida no plano xz. As outras afirmativas estão incorretas. A curva γ não é uma circunferência, pois é a interseção de duas superfícies.

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