Considere un alambre cuya representación en el espacio viene dada por la curva γ ⊆ R3 la cual corresponde a la intersección de las superficies S1...

a) Para encontrar uma parametrização para a curva γ, podemos usar a equação da superfície S2: x = z - 1. Substituindo x em S1, temos 2(z - 1)² + y² = 2. Podemos reescrever isso como (z - 1)² + (y/√2)² = 1, que é a equação de um círculo de raio 1, centrado em (1, 0, 0) e contido no plano yz. Portanto, podemos parametrizar γ como γ(t) = (1 + cos(t), √2 sin(t), cos(t)), onde 0 ≤ t ≤ 2π. b) O vetor tangente a γ é dado por γ'(t) = (-sin(t), √2 cos(t), -sin(t)). A norma deste vetor é dada por ||γ'(t)|| = √(sin²(t) + 2cos²(t) + sin²(t)) = √(2cos²(t) + 2) = 2√(cos²(t) + 1). c) Para calcular a massa do alambre γ, podemos usar a fórmula M = ∫γ δ ds, onde δ é a densidade em cada ponto e ds é o elemento de comprimento ao longo da curva. Podemos calcular ds como ds = ||γ'(t)|| dt. Substituindo as expressões encontradas em a) e b), temos: M = ∫γ δ ds = ∫0^2π (2(cos(t) - 1)² + 2sin²(t) + 2) 2√(cos²(t) + 1) dt = 8∫0^2π (cos²(t) - cos(t) + 1)√(cos²(t) + 1) dt Podemos calcular esta integral usando a substituição u = cos(t), du = -sin(t) dt: M = 8∫-1^1 (u² - u + 1)√(u² + 1) du = 8(2√2 - 2/3) Portanto, a massa do alambre γ é M = 16√2/3. d) As afirmativas II e IV estão corretas. A curva γ está contida no plano xz e é uma circunferência de raio √2, centrada em (1, 0, 0).