Um cubo tem uma face ABCD e sua face oposta é EFGH, sendo AE, BF, CG e DH quatro de suas 12 arestas. Prove que o poliedro de vértices A, C, F e H é...

Para provar que o poliedro formado pelos vértices A, C, F e H é um tetraedro regular, podemos mostrar que todas as arestas têm o mesmo comprimento e que todos os ângulos entre as arestas são iguais. Sabemos que o cubo tem todas as suas faces congruentes e que as arestas são todas iguais. Portanto, a aresta AE é igual à aresta BF, que é igual à aresta CG, que é igual à aresta DH. Isso nos dá a primeira condição de igualdade dos comprimentos das arestas. Agora, vamos analisar os ângulos entre as arestas. Se traçarmos uma diagonal do cubo, por exemplo, a diagonal AC, ela divide o cubo em dois tetraedros congruentes. Portanto, o tetraedro formado pelos vértices A, C, F e H é congruente ao tetraedro formado pelos vértices A, C, E e G. Sabemos que um tetraedro regular tem todos os ângulos entre as arestas iguais. Portanto, os ângulos entre as arestas AC, AF, AH, CF, CH e FH são todos iguais. Isso nos dá a segunda condição de igualdade dos ângulos. Assim, podemos concluir que o poliedro formado pelos vértices A, C, F e H é um tetraedro regular. Para calcular o volume do tetraedro, podemos usar a fórmula: Volume = (1/6) * área da base * altura No caso do tetraedro regular, a base é um triângulo equilátero, e a altura é a altura do triângulo equilátero, que é dado por: altura = (raiz quadrada de 6) / 3 * a Onde "a" é a aresta do cubo. Substituindo na fórmula do volume, temos: Volume = (1/6) * (lado do triângulo equilátero)^2 * ((raiz quadrada de 6) / 3 * a) Simplificando, temos: Volume = (raiz quadrada de 2) / 12 * a^3 Para calcular a distância entre duas arestas reversas do tetraedro em função da aresta do tetraedro, podemos usar a fórmula: Distância = (raiz quadrada de 2) / 3 * a Espero ter ajudado!