Mostre que uma função f : (0, 1) → R é uniformemente cont́ınua se, e somente se, pode ser estendida para uma função cont́ınua f̃ : [0, 1] → R....

Para mostrar que uma função f: (0, 1) → R é uniformemente contínua se, e somente se, pode ser estendida para uma função contínua f̃: [0, 1] → R, podemos seguir os seguintes passos: 1. Se f é uniformemente contínua em (0, 1), podemos estender f para uma função contínua f̃: [0, 1] → R definindo f̃(0) = lim(x→0+) f(x) e f̃(1) = lim(x→1-) f(x). Essa extensão é contínua porque os limites laterais existem e são finitos. 2. Agora, vamos demonstrar que se f pode ser estendida para uma função contínua f̃: [0, 1] → R, então f é uniformemente contínua em (0, 1). Suponha que f pode ser estendida para uma função contínua f̃: [0, 1] → R. Para mostrar que f é uniformemente contínua em (0, 1), vamos usar o fato de que f̃ é contínua em [0, 1]. Dado ε > 0, escolha δ > 0 de forma que |f̃(x) - f̃(y)| < ε/2 para todo x, y em [0, 1] com |x - y| < δ. Agora, vamos considerar x, y em (0, 1) com |x - y| < δ. Como f̃ é uma extensão contínua de f, temos que f(x) = f̃(x) e f(y) = f̃(y). Portanto, |f(x) - f(y)| = |f̃(x) - f̃(y)| < ε/2. Isso mostra que f é uniformemente contínua em (0, 1). Portanto, demonstramos que uma função f: (0, 1) → R é uniformemente contínua se, e somente se, pode ser estendida para uma função contínua f̃: [0, 1] → R.