Dado o polinômio x^2 + (a-b)x + 2a e dado o polinômio x^3 + (a + b), determine a e b para que ambos polinômios sejam divisíveis por 2 - x a = -10...

Para que ambos os polinômios sejam divisíveis por 2 - x, devemos encontrar os valores de a e b que tornam o resto da divisão igual a zero. Vamos começar com o polinômio x^2 + (a-b)x + 2a. Se ele for divisível por 2 - x, então o resto da divisão deve ser zero. Podemos fazer a divisão usando o método da divisão sintética: 2 - x | 1 (a - b) 2a | -2 2 - a a(2 - a) + (a - b) |_________________________ 1 - 2 a - b 2a + (a - b) Para que o resto seja zero, a - b = 0 e 2a + (a - b) = 0. Isso nos dá o sistema de equações: a - b = 0 3a - b = 0 Resolvendo esse sistema, encontramos a = b. Agora, vamos analisar o segundo polinômio x^3 + (a + b). Novamente, queremos que ele seja divisível por 2 - x, então o resto da divisão deve ser zero. Fazendo a divisão: 2 - x | 1 a + b | -2 2 - a (a + b) + 2(2 - a) |_________________________ 1 - 2 a + b 4 - a Para que o resto seja zero, a + b = 0 e 4 - a = 0. Isso nos dá o sistema de equações: a + b = 0 4 - a = 0 Resolvendo esse sistema, encontramos a = 4 e b = -4. Portanto, os valores de a e b que tornam ambos os polinômios divisíveis por 2 - x são a = 4 e b = -4.