Mostre que uma função f : (0, 1) → R é uniformemente cont́ınua se, e somente se, pode ser estendida para uma função cont́ınua f̃ : [0, 1] → R....

Para demonstrar que uma função f : (0, 1) → R é uniformemente contínua se, e somente se, pode ser estendida para uma função contínua f̃ : [0, 1] → R, podemos seguir os seguintes passos: 1. Se f é uniformemente contínua, então podemos estender f para uma função contínua f̃ : [0, 1] → R da seguinte maneira: - Defina f̃(0) = lim x→0 f(x) e f̃(1) = lim x→1 f(x). - Para x ∈ (0, 1), defina f̃(x) = f(x). 2. Agora, vamos demonstrar que se f pode ser estendida para uma função contínua f̃ : [0, 1] → R, então f é uniformemente contínua. - Suponha que f pode ser estendida para uma função contínua f̃ : [0, 1] → R. - Se f não fosse uniformemente contínua, então existiriam ε > 0 e sequências (xn) e (yn) em (0, 1) tais que |xn - yn| < δ para todo n e |f(xn) - f(yn)| ≥ ε para algum n. - Como (xn) e (yn) são sequências em (0, 1), elas têm subsequências convergentes a x e y em [0, 1], respectivamente. - Como f̃ é contínua, temos que f̃(xn) → f̃(x) e f̃(yn) → f̃(y) quando n → ∞. - Mas f̃(xn) = f(xn) e f̃(yn) = f(yn) para todo n, então temos que f(x) - f(y) ≥ ε para alguns x e y em (0, 1), o que é uma contradição. - Portanto, f deve ser uniformemente contínua. Assim, concluímos que uma função f : (0, 1) → R é uniformemente contínua se, e somente se, pode ser estendida para uma função contínua f̃ : [0, 1] → R.