Suponhamos que ∑an e ∑bn sejam séries de termos positivos. Mostre que (a) Se lim an/bn = 0 e ∑bn converge, então ∑an converge. (b) Se lim an/bn =...

(a) Para provar que se lim an/bn = 0 e ∑bn converge, então ∑an converge, podemos usar o critério de comparação. Como ∑bn converge, então existe um número real positivo M tal que a soma dos termos de bn é menor ou igual a M. Assim, temos que: an/bn <= M/bn Como lim an/bn = 0, então para todo ε > 0, existe um número natural N tal que, se n >= N, então |an/bn - 0| < ε. Escolhendo ε = M/2, temos que: an/bn <= M/2 < M Portanto, para n >= N, temos que: an <= M*bn/2 Como ∑bn converge, então ∑(M*bn/2) converge. Logo, ∑an converge pelo critério de comparação. (b) Para provar que se lim an/bn = +∞ e ∑bn diverge, então ∑an diverge, podemos usar novamente o critério de comparação. Como ∑bn diverge, então para todo número real positivo M, existe um número natural N tal que a soma dos termos de bn a partir de N é maior que M. Assim, temos que: an/bn >= M/bn Como lim an/bn = +∞, então para todo M > 0, existe um número natural N tal que, se n >= N, então an/bn > M. Escolhendo M = 1, temos que: an >= bn Portanto, para n >= N, temos que: an >= bn >= M Como ∑bn diverge, então ∑an diverge pelo critério de comparação.