Seja a > 0. Mostre que lim n^(1/2) / sqrt(a) = 1. Dica: Utilize a desigualdade de Bernoulli associada ao Teorema do Sandúıche.

Para mostrar que lim n^(1/2) / sqrt(a) = 1, podemos utilizar a desigualdade de Bernoulli associada ao Teorema do Sanduíche. Primeiro, vamos considerar a sequência b_n = n^(1/2) / sqrt(a). Queremos mostrar que lim b_n = 1. A desigualdade de Bernoulli afirma que para qualquer número real x > -1 e qualquer número real r > 0, temos (1 + x)^r ≥ 1 + rx. Podemos aplicar essa desigualdade para o caso em questão, considerando x = -1/n e r = 1/2: (1 - 1/n)^(1/2) ≥ 1 - 1/(2n) Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado: (1 - 1/n) ≥ 1 - 1/(2n) + 1/(4n^2) Simplificando a expressão, temos: 1 - 1/n ≥ 1 - 1/(2n) + 1/(4n^2) Multiplicando ambos os lados por sqrt(a), obtemos: sqrt(a) - sqrt(a)/n ≥ sqrt(a) - sqrt(a)/(2n) + sqrt(a)/(4n^2) Agora, dividimos todos os termos por sqrt(a): 1 - 1/(n*sqrt(a)) ≥ 1/(2n*sqrt(a)) - 1/(4n^2*sqrt(a)) Podemos reescrever essa expressão como: 1 - 1/(n*sqrt(a)) ≥ 1/(2n*sqrt(a)) * (1 - 1/(2n)) Agora, vamos considerar a sequência c_n = 1 - 1/(n*sqrt(a)). Queremos mostrar que lim c_n = 1. Podemos ver que c_n é uma sequência decrescente, pois c_n+1 - c_n = 1/(n*sqrt(a)) - 1/((n+1)*sqrt(a)) = (sqrt(a) - 1)/(n*(n+1)*sqrt(a)) > 0. Além disso, temos que c_n ≥ 1 - 1/(n*sqrt(a)) ≥ 0 para todo n. Portanto, a sequência c_n é limitada inferiormente por 0 e decrescente, o que implica que ela possui limite. Vamos chamar esse limite de L. Agora, vamos considerar a sequência d_n = 1/(2n*sqrt(a)) * (1 - 1/(2n)). Queremos mostrar que lim d_n = 0. Podemos ver que d_n é uma sequência decrescente, pois d_n+1 - d_n = 1/(2(n+1)*sqrt(a)) * (1 - 1/(2(n+1))) - 1/(2n*sqrt(a)) * (1 - 1/(2n)) = (sqrt(a) - 1)/(4n*(n+1)*sqrt(a)) > 0. Além disso, temos que d_n ≥ 0 para todo n. Portanto, a sequência d_n é limitada inferiormente por 0 e decrescente, o que implica que ela possui limite. Vamos chamar esse limite de M. Agora, podemos aplicar o Teorema do Sanduíche. Como c_n ≤ b_n ≤ d_n para todo n, e lim c_n = lim d_n = L = M = 1, temos que lim b_n = 1. Portanto, mostramos que lim n^(1/2) / sqrt(a) = 1.