Seja (xn) uma sequência tal que a subsequência dos ı́ndices pares e a subsequência dos ı́ndices ı́mpares convergem para um mesmo valor real a. M...

Para mostrar que a sequência (xn) converge para a, podemos usar o critério do confronto. Seja ε > 0. Como as subsequências dos índices pares e ímpares convergem para a, existem números naturais N1 e N2 tais que: |x2n - a| < ε para todo n ≥ N1 |x(2n-1) - a| < ε para todo n ≥ N2 Seja N = max{2N1, 2N2-1}. Então, para todo n ≥ N, temos: |x(n) - a| ≤ |x(n) - x(2n)| + |x(2n) - a| ≤ |x(n) - x(2n-1)| + |x(2n-1) - a| + |x(2n) - a| < 2ε Portanto, a sequência (xn) converge para a.