Análise a função f(x) = 2x3 – 6x2 + 2 / 3 ∞ 5

Para analisar a função f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 2 / 3, podemos começar encontrando os pontos de máximo e mínimo, bem como os pontos de inflexão. Para isso, precisamos calcular a primeira e segunda derivada da função. A primeira derivada de f(x) é dada por f'(x) = 6x^2 - 12x. A segunda derivada de f(x) é dada por f''(x) = 12x - 12. Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função, igualando a primeira derivada a zero: 6x^2 - 12x = 0 Fatorando, temos: 6x(x - 2) = 0 Portanto, os pontos críticos são x = 0 e x = 2. Agora, vamos analisar o sinal da segunda derivada nos intervalos entre os pontos críticos: Para x < 0, temos f''(x) < 0, o que indica uma concavidade para baixo. Para 0 < x < 2, temos f''(x) > 0, o que indica uma concavidade para cima. Para x > 2, temos f''(x) > 0, o que indica uma concavidade para cima. Agora, podemos traçar o gráfico da função f(x) com base nas informações obtidas. Lembrando que a função é racional, então devemos verificar se existem assíntotas verticais ou horizontais. Para isso, vamos analisar o comportamento da função nos limites quando x se aproxima de infinito e de 5. Quando x se aproxima de infinito, a função tende a 2/3. Portanto, temos uma assíntota horizontal em y = 2/3. Quando x se aproxima de 5, a função tende a infinito. Portanto, não há assíntotas verticais. Com base nessas informações, podemos traçar o gráfico da função f(x).