A figura seguinte mostra, em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, em que a unidade de medida de comprimento é o centímetro, uma região...

a) Para provar que o triângulo ABC é retângulo, precisamos mostrar que um dos seus ângulos internos mede 90 graus. Podemos usar a definição geométrica do produto interno para isso. Sabemos que o vetor AB é dado por B - A e o vetor AC é dado por C - A, onde B e C são os pontos que definem os lados do triângulo. O produto interno entre esses dois vetores é dado por: AB . AC = (B - A) . (C - A) Expandindo essa expressão, temos: AB . AC = B . C - B . A - A . C + A . A Note que o último termo é igual a zero, pois o produto interno de um vetor consigo mesmo é igual ao quadrado do seu módulo, que é sempre positivo. Agora, observe que o vetor AB é perpendicular ao vetor AC se e somente se o produto interno AB . AC for igual a zero. Portanto, precisamos mostrar que: B . C - B . A - A . C = 0 Para isso, podemos usar a figura e a propriedade de que os lados do triângulo são perpendiculares entre si. Note que o vetor AB é paralelo ao lado horizontal do retângulo incompleto e o vetor AC é paralelo ao lado vertical. Portanto, podemos escrever: B - A = k (1, 0) C - A = m (0, 1) Onde k e m são constantes que representam as magnitudes dos vetores AB e AC, respectivamente. Substituindo essas expressões na equação acima, temos: B . C - B . A - A . C = (A + k (1, 0)) . (A + m (0, 1)) - (A + k (1, 0)) . A - A . (A + m (0, 1)) Simplificando essa expressão, obtemos: B . C - B . A - A . C = km Mas sabemos que o triângulo é retângulo, então um dos seus lados é a hipotenusa e os outros dois são os catetos. Portanto, podemos escrever: AB = (B - A) = (a, 0) AC = (C - A) = (0, b) Onde a e b são as medidas dos catetos. Substituindo essas expressões na equação acima, temos: B . C - B . A - A . C = ab Mas sabemos que a área do triângulo ABC é dada por: Area = (1/2) ab Portanto, podemos concluir que: B . C - B . A - A . C = 2 Area Mas sabemos que a área do triângulo é igual a metade do produto da medida da base pela medida da altura. Como a base do triângulo é o vetor AB e a altura é a medida do segmento CD, temos: Area = (1/2) AB . CD Mas sabemos que o vetor AB é paralelo ao eixo x e o vetor CD é paralelo ao eixo y. Portanto, podemos escrever: AB = (a, 0) CD = (0, h) Onde h é a medida da altura do triângulo. Substituindo essas expressões na equação acima, temos: Area = (1/2) ah Igualando as duas expressões para a área, temos: ah = 2 Area Substituindo essa expressão na equação anterior, temos: B . C - B . A - A . C = ah Mas sabemos que o ponto C está sobre o segmento BD, que é perpendicular ao segmento AB. Portanto, podemos escrever: C = B + (h, -a) Substituindo essa expressão na equação acima, temos: B . (B + (h, -a)) - B . A - A . (B + (h, -a)) = ah Simplificando essa expressão, obtemos: h (Bx - Ax) - a (By - Ay) = ah Dividindo ambos os lados por h, temos: Bx - Ax - (a/h) (By - Ay) = a Mas sabemos que o vetor AB é perpendicular ao vetor AC, então o produto interno AB . AC é igual a zero. Portanto, podemos escrever: AB . AC = (B - A) . (C - A) = 0 Expandindo essa expressão, temos: (Bx - Ax) (Cx - Ax) + (By - Ay) (Cy - Ay) = 0 Substituindo a expressão para C que encontramos anteriormente, temos: (Bx - Ax) (Bx + h - Ax) + (By - Ay) (By - a - Ay) = 0 Simplificando essa expressão, obtemos: h (Bx - Ax) - a (By - Ay) = -Bx^2 - By^2 + Ax^2 + Ay^2 Substituindo essa expressão na equação anterior, temos: -Bx^2 - By^2 + Ax^2 + Ay^2 = a Somando Bx^2 + By^2 em ambos os lados, temos: Ax^2 + Ay^2 = a + Bx^2 + By^2 Mas sabemos que a soma dos quadrados das coordenadas de um ponto é igual ao quadrado da sua distância ao ponto de origem. Portanto, podemos escrever: OA^2 = a + AB^2 Onde O é a origem do sistema de coordenadas. Como o triângulo é retângulo, temos: OA^2 = OB^2 + AB^2 Substituindo a expressão para OA^2 que encontramos anteriormente, temos: a + AB^2 = OB^2 + AB^2 Simplificando essa expressão, obtemos: a = OB^2 Portanto, concluímos que o triângulo ABC é retângulo em A. b) Para provar que os vetores AB e AC são ortogonais, podemos usar a definição geométrica do produto vetorial. Sabemos que o produto vetorial entre dois vetores é um vetor perpendicular a ambos. Portanto, precisamos mostrar que: AB x AC = 0 Onde x representa o produto vetorial. Podemos escrever os vetores AB e AC em termos das suas coordenadas: AB = (Bx - Ax, By - Ay, 0) AC = (Cx - Ax, Cy - Ay, 0) Onde a terceira coordenada é zero porque os vetores estão no plano xy. Agora, podemos calcular o produto vetorial entre esses dois vetores: AB x AC = (Bx - Ax, By - Ay, 0) x (Cx - Ax, Cy - Ay, 0) Expandindo essa expressão, temos: AB x AC = (By - Ay) (0, 0, Cx - Ax) - (Bx - Ax) (0, 0, Cy - Ay) Simplificando essa expressão, obtemos: AB x AC = (Bx - Ax) (Cy - Ay) - (By - Ay) (Cx - Ax), 0, 0) Mas sabemos que o triângulo é retângulo em A, então o vetor AB é paralelo ao eixo x e o vetor AC é paralelo ao eixo y. Portanto, podemos escrever: AB = (a, 0, 0) AC = (0, b, 0) Onde a e b são as medidas dos catetos. Substituindo essas expressões na equação acima, temos: AB x AC = (0, 0, ab) - (0, 0, ab) = (0, 0, 0) Portanto, concluímos que os vetores AB e AC são ortogonais. c) Para determinar o valor da medida do ângulo C, podemos usar o produto interno entre os vetores AB e AC. Sabemos que o produto interno entre dois vetores é igual ao produto dos seus módulos pelo cosseno do ângulo entre eles. Portanto, podemos escrever: AB . AC = |AB| |AC| cos(C) Onde |AB| e |AC| são os módulos dos vetores AB e AC, respectivamente, e C é o ângulo entre eles. Sabemos que o vetor AB é paralelo ao eixo x e o vetor AC é paralelo ao eixo y. Portanto, podemos escrever: AB = (a, 0) AC = (0, b) Onde a e b são as medidas dos catetos. Calculando os módulos desses vetores, temos: |AB| = a |AC| = b Substituindo esses valores na equação acima, temos: AB . AC = ab cos(C) Mas sabemos que os vetores AB e AC são ortogonais, então o produto interno entre eles é igual a zero. Portanto, podemos escrever: AB . AC = 0 Substituindo essa expressão na equação anterior, temos: 0 = ab cos(C) Mas sabemos que o triângulo é retângulo em A, então o ângulo C é igual ao ângulo formado pelo vetor AB e o eixo y. Portanto, podemos escrever: cos(C) = |AB| / |AC| = a / b Substituindo essa expressão na equação anterior, temos: 0 = ab (a / b) Simplificando essa expressão, obtemos: 0 = a^2 Portanto, concluímos que o ângulo C é igual a 90 graus.

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