Dados os vetores u e v, linearmente independentes, então os vetores (u + v) e (u – v) também são linearmente independentes. Mostre as condições nec...

Para que os vetores (au + bv) e (cu + dv) sejam linearmente independentes, é necessário que a combinação linear desses vetores seja igual a zero apenas quando a = b = c = d = 0. Assim, temos: a(au + bv) + c(cu + dv) = 0 a^2u + acv + bcu + cdv = 0 (a^2 + bc)u + (ac + bd)v = 0 Para que essa equação seja verdadeira, é necessário que a^2 + bc = 0 e ac + bd = 0. Se a = 0, então b ≠ 0, caso contrário, u e v não seriam linearmente independentes. Assim, temos que c ≠ 0 e d ≠ 0, caso contrário, (cu + dv) seria um múltiplo escalar de u ou v, o que tornaria (au + bv) e (cu + dv) linearmente dependentes. Portanto, as condições necessárias são: a^2 + bc = 0, ac + bd = 0, b ≠ 0, c ≠ 0 e d ≠ 0.