3a Questão Dada a função f(x) = x3 + x. a) Verifique se existe a função inversa g(x) = f--1(x) (Use o teorema da função inversa) b) Calcule g(2) e...

a) Para verificar se a função inversa existe, precisamos verificar se a função é injetora. Para isso, precisamos verificar se a função é crescente ou decrescente em todo o seu domínio. Para a função f(x) = x³ + x, temos que f'(x) = 3x² + 1, que é sempre positivo. Portanto, a função é crescente em todo o seu domínio e, portanto, é injetora. Assim, podemos afirmar que a função inversa existe. b) Para calcular g(2), precisamos encontrar o valor de x que satisfaz a equação f(x) = 2. Temos: f(x) = x³ + x 2 = x³ + x x³ + x - 2 = 0 Podemos resolver essa equação por meio de fatoração: (x - 1)(x² + x + 2) = 0 As raízes são x = 1 e x = (-1 ± √7i)/2. Como a função é crescente, a única raiz real é x = 1. Portanto, g(2) = 1. Para calcular g'(2), podemos usar a fórmula: g'(x) = 1/f'(g(x)) Assim, temos: g'(2) = 1/f'(g(2)) g'(2) = 1/f'(1) g'(2) = 1/4 Portanto, g'(2) = 1/4.