3a Questão Dada a função f(x) = ln(4x2) definidas no intervalo [1,3]. a) Mostre que f(x) tem inversa no intervalo (1,3), ou seja, verifique se f(x)...

Vamos lá! a) Para verificar se a função f(x) = ln(4x^2) tem inversa no intervalo (1,3), precisamos verificar se ela é injetora nesse intervalo. Para isso, podemos analisar a sua derivada. Calculando a derivada de f(x), temos: f'(x) = (1/x) * 8x = 8 Como a derivada é sempre positiva no intervalo (1,3), podemos concluir que a função f(x) é estritamente crescente nesse intervalo, o que implica que ela é injetora. Portanto, f(x) tem inversa no intervalo (1,3). b) Para calcular a derivada da função inversa de f no ponto 2, podemos utilizar a fórmula: (f^(-1))'(2) = 1 / f'(f^(-1)(2)) Primeiro, encontramos o valor de f^(-1)(2). Para isso, trocamos x por y na função f(x) e resolvemos para y: y = ln(4x^2) 2 = ln(4x^2) e^2 = 4x^2 x^2 = e^2 / 4 x = sqrt(e^2 / 4) x = e / 2 Agora, substituímos esse valor na derivada de f(x): (f^(-1))'(2) = 1 / f'(f^(-1)(2)) (f^(-1))'(2) = 1 / f'(e/2) (f^(-1))'(2) = 1 / 8 Portanto, o valor de (f^(-1))'(2) é 1/8. c) Para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função inversa de f no ponto x = 2, podemos utilizar a fórmula da reta tangente: y - y1 = m(x - x1) Onde (x1, y1) é o ponto dado e m é a inclinação da reta, que é igual à derivada da função inversa de f no ponto x = 2. Já encontramos a derivada no item b), que é 1/8. Agora, substituímos os valores na fórmula da reta tangente: y - f^(-1)(2) = (1/8)(x - 2) Simplificando, temos: y - f^(-1)(2) = (1/8)x - 1/4 Essa é a equação da reta tangente ao gráfico da função inversa de f no ponto x = 2. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.