Usando o Teorema de Stokes, se F(x, y, z) = ( − y², x, z²) e C é a curva da intersecção do plano y + z = 2 com o cilindro x² + y² = 1, percorrida n...

Para calcular a integral de linha ∫CF. dP usando o Teorema de Stokes, precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar o rotacional de F: ∇ x F = (2z, 0, 2x + 2y²) 2. Parametrizar a curva C: y + z = 2 e x² + y² = 1 Podemos parametrizar a curva C como: r(t) = (cos(t), 2 - cos(t), sin(t)), onde 0 ≤ t ≤ 2π. 3. Calcular o produto escalar F . T: F(r(t)) = (- (2 - cos(t))², cos(t), sin²(t)) T(t) = r'(t) = (-sin(t), sin(t), cos(t)) F(r(t)) . T(t) = 2sin(t)(cos²(t) - 1) 4. Calcular a integral de linha: ∫CF. dP = ∫∫S (∇ x F) . dS S é a superfície delimitada pela curva C. Podemos parametrizar S como: g(x, y) = (x, y, 2 - x - y) 0 ≤ x ≤ 1 e -√(1 - x²) ≤ y ≤ √(1 - x²) Então, temos: ∫∫S (∇ x F) . dS = ∫∫D (∇ x F) . (g_x x g_y) dA = ∫∫D (2z, 0, 2x + 2y²) . (-1, -1, 0) dA = ∫∫D (-2z - 2y²) dA = ∫0^1 ∫-√(1 - x²)^√(1 - x²) (-2(2 - x - y) - 2y²) dy dx = ∫0^1 ∫-√(1 - x²)^√(1 - x²) (-4 + 2x + 3y - 2y²) dy dx = ∫0^1 (-4y + 2xy + (3/2)y² - (2/3)y³)|-√(1 - x²)^√(1 - x²) dx = ∫0^1 (-4√(1 - x²) + (7/3)x² - (2/3)) dx = π/2 Portanto, a alternativa correta é a letra A) π/2.