Com relação à solução de equações diferenciais, analise as afirmativas: I. A função y = cos(x)+sen(x) é solução da equação diferencial + 4y = cos(2...

A alternativa correta é a letra a) Somente a afirmativa I é verdadeira. Explicação: I. A função y = cos(x)+sen(x) é solução da equação diferencial + 4y = cos(2x) Para verificar se a função é solução da equação diferencial, basta substituí-la na equação e verificar se a igualdade é satisfeita: + 4y = cos(2x) + 4(cos(x) + sen(x)) = cos(2x) 4cos(x) + 4sen(x) = cos(2x) 2cos(x) = cos(2x) - 2sen(x)cos(x) 2cos(x) = cos(2x) - sen(2x) 2cos(x) = 2cos(x)² - 1 - 2sen(x)² 2cos(x) = 2cos(x)² - 1 - 2(1 - cos²(x)) 2cos(x) = 2cos(x)² - 3 + 2cos²(x) 0 = 2cos²(x) - 2cos(x) - 3 0 = (2cos(x) + 1)(cos(x) - 3) cos(x) = -1/2 ou cos(x) = 3 A solução cos(x) = -1/2 é válida, pois sen(x) = √(1 - cos²(x)) = √(1 - 1/4) = √(3/4) = √3/2 Portanto, a afirmativa I é verdadeira. II. A função y = e-x/2 é solução da equação diferencial 2y'+y=0 Para verificar se a função é solução da equação diferencial, basta substituí-la na equação e verificar se a igualdade é satisfeita: 2y' + y = 0 y' = -y/2 Substituindo y = e-x/2: y' = (-1/2)e-x/2 2y' + y = 0 (-e-x/2) + e-x/2 = 0 0 = 0 Portanto, a afirmativa II é verdadeira. III. A função y é solução da equação diferencial xy'-4y=0 Para verificar se a função é solução da equação diferencial, basta substituí-la na equação e verificar se a igualdade é satisfeita: xy' - 4y = 0 y' = 4y/x Substituindo y = x²: y' = 2x xy' - 4y = x(2x) - 4x² = -2x² A igualdade não é satisfeita, portanto, a afirmativa III é falsa. IV. A função é solução da equação diferencial xy" + y' = 0 Para verificar se a função é solução da equação diferencial, basta substituí-la na equação e verificar se a igualdade é satisfeita: xy" + y' = 0 y' = -xy"/y Substituindo y = x: y' = 1 y" = 0 xy" + y' = x(0) + 1 = 1 A igualdade é satisfeita, portanto, a afirmativa IV é verdadeira. Portanto, somente as afirmativas I e IV são verdadeiras, e a alternativa correta é a letra a) Somente a afirmativa I é verdadeira.