As três propriedades que definem o conjunto dos números naturais são conhecidas, também, como Axiomas de Peano. Tratam-se da base do método de demo...

As três propriedades que definem o conjunto dos números naturais são conhecidas, também, como Axiomas de Peano. Tratam-se da base do método de demonstração de indução finita.

Sendo assim, vamos considerar a igualdade 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n² (n ∈ N*), que está apresentando que a soma dos n primeiros números ímpares é igual a n². Logo, vamos provar por indução finita que a propriedade é válida para todos os naturais.

Para tanto, devemos verificar que, para ____ a propriedade é verdadeira: n = 1 ⟹ 1 = 1². Depois, iremos admitir que é verdadeiro para n = k, com n ∈ N* (hipótese de ___): igualdade 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) = k². Por fim, vamos provar que é verdadeiro para n = _____.

1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) + [2 (k + 1) – 1 ] = (k + 1) ²

1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) + (2k + 2 - 1) = (k + 1) ²

1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) + (___) = (k + 1) ²

Como 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) = k², substituímos todo o início da primeira parte por k², obtendo k² + (2k + 1). Tem-se, então, que k² + 2k + 1 = (k +1) ².

Assim, com base em nossos estudos sobre o método de indução finita, assinale a alternativa a seguir que aponta os termos que preenchem as lacunas anteriores corretamente.

I. n = 0; indução; k + 2; 2k +1

II. n = 1; indução; k +1; 2k + 1 

III. n = 1; afirmação; 2k+1; k +1

IV. n = k; indução; k + 1; 2k + 1

V. n = 0; afirmação; k; 2k +2